🦋 Add LRT part

rapport.Rnw

@@ -396,15 +396,29 @@ De là on obtient la Hessienne $\begin{pmatrix}
 
 % Si bayésien on met un prior impropre sur les betas et on intègre apr rapport aux 
 \subsection{REML}
-REML, ou Maximum de Vraisemblance Restreint (Restricted Maximum Likelihood en anglais), est une méthode statistique utilisée dans l'estimation des paramètres de modèles linéaires mixtes (ou modèles à effets mixtes) et dans l'analyse de la variance (ANOVA). Il s'agit d'une approche alternative à la méthode de maximum de vraisemblance (ML) standard, notamment lorsque l'on travaille avec des modèles à effets aléatoires.
+REML, ou Maximum de Vraisemblance Restreint (Restricted Maximum Likelihood en anglais), est une méthode statistique utilisée dans l'estimation des paramètres de modèles linéaires mixtes (ou modèles à effets mixtes) et dans l'analyse de la variance (ANOVA).
+Il s'agit d'une approche alternative à la méthode de maximum de vraisemblance (ML) standard, notamment lorsque l'on travaille avec des modèles à effets aléatoires.
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-TODO: formule pour montrer la différence ? 
+L'une des formules pour la vraissemblance restreinte consite à regarder la vraissemblances des observations en intégrant sur les effets fixes, ici $\beta$.
+C'est à dire sous l'hypothèse que les estimations des effets fixes sont éliminées (conditionnées)
+\begin{equation*}
+    L_{REML} (Y;\theta)=\int _{\beta \in \mathbb{R} ^2} \frac{1}{(2\pi)^{n/2}|V(\theta)|^{1/2}} \exp\left( -\frac{1}{2}(Y - X\beta)^T V(\theta)^{-1} (Y - X\beta) \right), d\beta
+\end{equation*}
+Lorsque dans un estimateur on a la division par $(n-p)$ au lieu de n, on fait sans le dire un REML. 
 TODO: Pourquoi l'utiliser pour Satterthwaite ?
 
-\subsection{LRT}
-TODO Expliquer LRT rapidement. Décrire la statistique de test et coûte plus cher
-car besoin de fitter 2 modèles au lieu de 1 seul pour les autres tests.
+\subsection{Mathode Likelihood Ratio Test}
+La méthode du test de rapport de vraisemblance (LRT) est une technique statistique utilisée pour comparer deux modèles statistiques et déterminer s'ils diffèrent significativement en termes d'ajustement aux données.
+Le rapport de vraisemblance est calculé comme le rapport des vraisemblances maximales des deux modèles (sous les deux hypothèses):
+\begin{equation*}
+    \text{LRT} = -2 \log\left(\frac{L(\theta_{\text{H}_0})}{L(\theta_{\text{H}_1})}\right)
+    \end{equation*}
+Sous l'hypothèse nulle que le modèle plus simple est correct, ce rapport suit approximativement une distribution du chi-deux avec un nombre de degrés de liberté égal à la différence dans le nombre de paramètres entre les deux modèles.
+Ainsi, en comparant la valeur observée du rapport de vraisemblance à la distribution du chi-deux, on peut décider si l'ajout de paramètres dans le modèle conduit à une amélioration significative de l'ajustement aux données.
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+Il est à noter que cette méthode est plus coûteuse car il est nécessaire de fitter 2 modèles au lieu d'un seul dans les autres méthodes. 
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 \section{Simulations}
 \label{chap:metho}