anova-phylogenetique-projet-msv/Rnw/dummy-main.Rnw

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% Titre du document
\title{Rapport de Projet : ANOVA Phylogénétique}
\author{Alizée Geffroy \and Louis Lacoste}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents
\listoffigures
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\chapter{Introduction}
\label{chap:intro}
% Introduction au projet, contexte, objectifs.
Ici contexte biologique, les données de \cite{gomez-mestrePhylogeneticAnalysesReveal2012}, les données de Paul et Mélina etc.

Avec l'avènement des données massives de génomiques, transcriptomiques, protéomiques etc, il y a besoin de techniques statistiques robustes et passant à l'échelle permettant de mener à bien l'analyse.

\chapter{État de l'Art}
\label{chap:etat_art}
% Revue de la littérature sur l'ANOVA phylogénétique.
Ici les rappels sur l'ANOVA, l'explication de l'ANOVA phylogénétique. La démonstration des limites de l'ANOVA phylogénétique par des simulations

\section{L'ANOVA}

L'ANOVA est un cas classique du modèle linéaire, nous utilisons ici les notations et le formalisme de \cite{belModeleLineaireSes}.

Le principe de l'ANOVA est d'expliciter le lien entre une variable quantitative et une ou plusieurs variables qualitatives.

La forme usuelle de l'ANOVA à 1 facteur est la suivante :

\begin{align}
Y_{ik} = \mu_i + E_{ik}, & &i = 1,\dots I, k = 1,\dots n_i, E_{ik} \sim \Normal (0, \sigma^2)
\end{align}

où dans cette équation, reprise du livre \parencite{belModeleLineaireSes}, $i$ représente le niveau du facteur et $k$ indique le numéro de l'observation dans ce niveau. $I$ est le nombre total de niveaux du facteur, $n_i$ le nombre d'observation du niveau $i$. 

L'ANOVA se généralise à deux facteurs, plus facilement compréhensible avec cette forme, non identifiable :
\begin{align}
Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + E_{ijk}, & &i = 1,\dots I, j = 1,\dots J, k = 1,\dots n_ij, E_{ijk} \sim \Normal (0, \sigma^2)
\end{align}

où $\mu$ représente un effet moyen de la population (\emph{intercept}), $\alpha_i$ l'effet du premier facteur de niveau $i$, $\beta_j$ l'effet du second facteur de niveau $j$.

Les paramètres de l'ANOVA sont estimables, grâce par exemple à la méthode du maximum de vraisemblance et ont des formules bien connues.

% ICI LES FORMULES

% LIMITES de l'ANOVA classique sur les données phylo

\section{L'ANOVA phylogénétique}

\chapter{Méthodologie}
\label{chap:metho}
\section{Approximation de Satterthwaite}
Pourquoi vouloir l'utiliser ? Réduire nbre de degrés de liberté utilisés dans la stat de test. 
Le but est d'approximé le nbre de degré de Liberté. 
On se basera sur la documentation du package lmer \cite{lmerPackage} pour ensuite implémenter une approximation de Satterthwaite. 
\begin{equation}
    Y = X\beta + u + \epsilon 
\end{equation} 
\[
\text{où} \quad \mathbf{Y} = \begin{bmatrix} Y_1 \\ Y_2 \\ \vdots \\ Y_n \end{bmatrix}, \mathbf{\beta} = \begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2  \end{bmatrix}\text{,} \quad u \sim \mathcal{N}_n(0, \sigma^2_{phy}K) \text{,} \quad \epsilon \sim \mathcal{N}_n(0, \sigma^2_{err}I_n)
\]
\newline
\[
 \text{Alors} \quad Y \sim \mathcal{N}_n(X\beta, \sigma^2_{phy}K + \sigma^2_{err}I_n) \quad \text{et} \quad Var_\theta(Y) = V(\theta) = \sigma^2_{phy}K + \sigma^2_{err}I_n
\]
De là on obtient:
\begin{equation}
    C(\theta) = (Cov(\beta_i , \beta_j))_{i,j} = (X^TV(\theta)^{-1}X)^{-1} = (X^T(\sigma^2_{phy}K + \sigma^2_{err}I_n)^{-1}X)^{-1}
\end{equation}

Toujours en suivant la documentation \cite{lmerPackage} on obtient une expression pour les degrés de liberté $df$ ainsi qu'une approximation. Ce qui nous donne :
\begin{equation}
    df = \frac{2(l^T\hat{C}l)^2}{[Var(l^T\hat{C}l)]}=\frac{2(f(\hat{\theta}))^2}{[Var(f(\hat{\theta})]}\approx \frac{2(f(\hat{\theta}))^2}{[\nabla f(\hat{\theta})]^T A[\nabla f(\hat{\theta})]}
\end{equation} 
\[\text{où} \quad \hat{C} = C(\hat\theta) \quad \text{et} \quad f(\theta) = l^TC(\theta)l\]
On va donc dans la suite calculer $\nabla f(\theta)$ puis l'appliquer en $\hat{\theta}$ et $A$ la matrice de variance-covariance de $\hat{\theta}=(\hat{\sigma}^2_{phy}, \hat{\sigma}^2_{err})$ 
\begin{proof}[Calcul du gradient]
Nous voulons calculer les dérivées partielles $\partial_{\sigma^2_{phy}}f(\theta)$ et $\partial_{\sigma^2_{err}}f(\theta)$. Pour les premières étapes de calculs, on écrira seulement $\partial$ sans distinction car ce sont les mêmes expressions pour les 2 dérivées. 
On utilisera dans la suite les formules de \cite{matrixcookbook2012} pour les dérivées de matrice
\[
\partial f(\theta)=l^T\partial C(\theta)l
\]
\[
\partial C(\theta)=\partial (X^TV(\theta)^{-1}X)^{-1} = -C(\theta) \partial (X^TV(\theta)^{-1}X)C(\theta)
\]

\[
    \partial (X^TV(\theta)^{-1}X) = \partial (X^TV(\theta)^{-1})X + \cancel{X^TV(\theta)^{-1})\partial(X)}
\]

% Commençons par utiliser la définition des fonctions trigonométriques :
% \[
% \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \quad \text{et} \quad \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}
% \]

% En substituant ces expressions dans l'identité, nous obtenons :
% \begin{align*}
% \sin^2(x) + \cos^2(x) &= \left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)^2 + \left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^2 \\
% &= \frac{(e^{ix} - e^{-ix})^2}{4i^2} + \frac{(e^{ix} + e^{-ix})^2}{4} \\
% &= \frac{(e^{ix} - e^{-ix})(e^{ix} - e^{-ix})}{-4} + \frac{(e^{ix} + e^{-ix})(e^{ix} + e^{-ix})}{4} \\
% &= \frac{e^{2ix} - 2e^{ix}e^{-ix} + e^{-2ix}}{-4} + \frac{e^{2ix} + 2e^{ix}e^{-ix} + e^{-2ix}}{4} \\
% &= \frac{e^{2ix} - 2 + e^{-2ix}}{-4} + \frac{e^{2ix} + 2 + e^{-2ix}}{4} \\
% &= \frac{e^{2ix} + e^{-2ix}}{4} + \frac{e^{2ix} + e^{-2ix}}{4} - \frac{2}{4} + \frac{2}{4} \\
% &= \frac{2(e^{2ix} + e^{-2ix})}{4} \\
% &= \frac{2 \cdot 2\cos(2x)}{4} \quad \text{(par la formule d'Euler)} \\
% &= \cos(2x)
% \end{align*}

% Ainsi, nous avons montré que $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.
\end{proof}
Supposons que nous avons une expression $x^2 - 2x + \cancel{3} - 3$. Comme la partie $\cancel{3}$ est nulle, nous pouvons la barrer.

\section{Simulations}
% On importe le fichier
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@

\chapter{Données}
\label{chap:data}
% Présentation des données utilisées.
<<donnees-reelles, child='Rnw/donnees-reelles.Rnw'>>=
@

\chapter{Résultats}
\label{chap:results}
% Présentation des résultats obtenus.

\chapter{Discussion}
\label{chap:discuss}
% Analyse critique des résultats, limites, perspectives.

\chapter{Conclusion}
\label{chap:conclu}
% Résumé des principales conclusions du projet.

% Bibliographie
\printbibliography
\nocite{*}

\end{document}