soutenance : premiere modif

soutenance/principal.tex

@@ -174,11 +174,54 @@
     où $\ell$ désigne la $\log$ vraisemblance.
 
     \begin{block}{Approximation variationnelle}
-        $\tau_{i,q}^{1,m} = P_{\mathcal{R}_m}(Z_{iq}^m = 1|X_{i\bullet}^m)$
+        $\tau_{iq}^{1,m} = P_{\mathcal{R}_m}(Z_{iq}^m = 1|X_{i\bullet}^m)$
-        et $\tau_{j,r}^{2,m} = P_{\mathcal{R}_m}(W_{jr}^m = 1|X_{\bullet j}^m)$
+        et $\tau_{jr}^{2,m} = P_{\mathcal{R}_m}(W_{jr}^m = 1|X_{\bullet j}^m)$
     \end{block}
 \end{frame}
 
+\begin{frame}{Étape \emph{Variational Expectation}}
+    $$\widehat{\bm{\tau}}^{(t+1)} = \arg \max_{\bm{\tau}}
+        \mathcal{J}(\mathcal{\bm{\tau}},\bm{\widehat{\theta}}^{(t)})$$
+
+    \begin{equation*}
+        \begin{cases}
+            \widehat{\tau}_{iq}^{1,m} \propto \widehat{\pi}_{q}^{m(t)} \prod_{j=1}^{n_2^m}\prod_{r\in\mathcal{Q}_2^m} f(X_{ij}^m;\widehat{\alpha}_{qr}^{(t)})^{\widehat{\tau}_{jr}^{2,m(t+1)}}  & \forall i = 1, \dots , n_1^m, q \in \mathcal{Q}_1^m \\
+            \widehat{\tau}_{jr}^{2,m} \propto \widehat{\rho}_{r}^{m(t)} \prod_{i=1}^{n_1^m}\prod_{q\in\mathcal{Q}_1^m} f(X_{ij}^m;\widehat{\alpha}_{qr}^{(t)})^{\widehat{\tau}_{iq}^{1,m(t+1)}} & \forall j = 1, \dots , n_2^m, r \in \mathcal{Q}_2^m
+        \end{cases}
+    \end{equation*}
+    \footnotetext[2]{Initialisation des $\widehat{\bm{\tau}}$ avec un
+        \emph{spectral clustering} sur les réseaux.}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Étape \emph{Maximization}}
+    \[
+        \widehat{\bm{\theta}}^{(t+1)} = \arg \max_{\bm{\theta}} \mathcal{J}(\mathcal{\bm{\widehat{\tau}}}^{(t+1)},\bm{\theta})
+    \]
+
+    \begin{block}{Paramètres de connectivité}
+        \begin{align*}
+            \widehat{\alpha}_{qr} = \frac{\sum_{m=1}^{M} \sum_{i=1}^{n_1^m} \sum_{j=1}^{n_2^m} \tau_{iq}^{1,m} \tau_{jr}^{2,m} X_{ij}^m}{\sum_{m=1}^{M} \sum_{i=1}^{n_1^m} \sum_{j=1}^{n_2^m} \tau_{iq}^{1,m} \tau_{jr}^{2,m}}
+        \end{align*}
+    \end{block}
+    \only<1>{
+        \begin{block}{Proportions pour \emph{iid}}
+            \begin{align*}
+                \widehat{\pi}_q = \frac{\sum_{m=1}^{M} \sum_{i=1}^{n_1^m} \tau_{iq}^{1,m}}{\sum_{m=1}^{M} n_1^m} &  &
+                \widehat{\rho}_r = \frac{\sum_{m=1}^{M} \sum_{j=1}^{n_2^m} \tau_{jr}^{2,m}}{\sum_{m=1}^{M} n_2^m}
+            \end{align*}
+        \end{block}
+    }
+    \only<2>{
+        \begin{block}{Proportions pour $\pi\rho$}
+            \begin{align*}
+                \widehat{\pi}^{\color{red}m}_q = \frac{\sum_{i=1}^{n_1^m} \tau_{iq}^{1,m}}{n_1^m} &  &
+                \widehat{\rho}^{\color{red}m}_r = \frac{\sum_{j=1}^{n_2^m} \tau_{jr}^{2,m}}{n_2^m}
+            \end{align*}
+        \end{block}
+    }
+
+\end{frame}
+
 \section{Sélection de modèle}
 \begin{frame}
     \frametitle{Problème de choix de $(Q_1, Q_2)$}
@@ -328,16 +371,27 @@
         \end{itemize}
     \end{block}
 
-    \begin{block}{Perspectives}
-        \begin{itemize}
-            \item Investiguer stabilité à l'aléatoire.
-            \item Intégration au package \texttt{colSBM} et publication CRAN
-            \item Preuve d'identifiabilité du modèle $\pi\rho$.
-        \end{itemize}
-    \end{block}
 
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Perspectives}
+    \begin{itemize}
+        \item Investiguer stabilité face à l'aléatoire et aux \emph{optima} locaux.
+        \item Preuve d'identifiabilité du modèle $\pi\rho$.
+        \item
+    \end{itemize}
+
+    \begin{block}{Package et applications}
+        \begin{itemize}
+            \item Intégration au package \texttt{colSBM} et publication CRAN
+            \item Intégrer possibilité d'un critère supplémentaire pour le
+                  clustering
+            \item Appliquer clustering données de \cite{pichonTellingMutualisticAntagonistic2024,doreRelativeEffectsAnthropogenic2021}
+            \item
+        \end{itemize}
+
+    \end{block}
     \bigskip
     \centering
     Merci pour votre attention~!
-
 \end{frame}

soutenance/soutenance.tex

@@ -85,7 +85,7 @@
 \title[Collections de réseaux bipartites]{Détection de structures et 
 \emph{clustering} dans des réseaux bipartites}
 \author[L. Lacoste]{Louis \textsc{Lacoste}, encadré par Pierre Barbillon et 
-Sophie Donnet} % Sous la supervision de Pierre
+Sophie Donnet\newline Laboratoire MIA Paris-Saclay} % Sous la supervision de Pierre
 \date{29 août 2024}
 
 \begin{document}