\section{Contexte du modèle}
\label{sec:contexte-du-modele}

\begin{frame}
    \frametitle{Pourquoi un réseau ?}
    \begin{columns}
        \begin{column}{0.5\textwidth}
            \begin{columns}
                \begin{column}{0.5\textwidth}
                    \begin{figure}[ht]
                        \centering
                        \begin{tikzpicture}[scale=.6,rotate=270]
                            \input{tikz/plantpollinatornetwork.tex}
                        \end{tikzpicture}
                        \caption{Exemple d'un réseau}
                        \label{fig:plantes-pollin}
                    \end{figure}
                \end{column}
                \begin{column}{0.3\textwidth}
                    \centering
                    \begin{align*}
                        \begin{pmatrix}
                            1 & 0 & 1 \\
                            1 & 0 & 0 \\
                            1 & 0 & 0 \\
                            1 & 1 & 0
                        \end{pmatrix}
                    \end{align*}
                    \footnotesize
                    Matrice d'adjacence associée
                \end{column}
            \end{columns}
            \begin{figure}[ht]
                \centering
                \includestandalone[width=0.7\textwidth]{tikz/applications/baldock/graph-Baldock2019_Bristol}
                \caption{Réseau plante-pollinisateur de
                    Bristol\newline\cite{baldockSystemsApproachReveals2019a}}
                \label{fig:label}
            \end{figure}
        \end{column}
        \begin{column}{0.5\textwidth}
            \begin{itemize}
                \item Modélisation d'interactions variées, ici d'écosystèmes
                \item Structure nécessaire pour~: suivi biodiversité,
                      robustesse, risque d'effondrement
                \item De plus en plus disponibles
            \end{itemize}
        \end{column}
    \end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Méthodes d'analyse pour un réseau}
    Plusieurs méthodes~:
    \begin{itemize}
        \item Métriques~: degré, centralité, emboîtement \dots
        \item Plongement des réseaux avec GNN
        \item \textbf<2>{\emph{Clustering} des n\oe uds avec modèles à variables latentes}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \addtocounter{footnote}{1}
    \frametitle{Latent Block Model (LBM\footnotemark[\thefootnote])}
    %DONE remplacer i \in bullet par Zi = \bullet
    \cite{govaertEMAlgorithmBlock2005}.
    \begin{columns}
        \begin{column}{0.40\linewidth}
            \begin{figure}[H]
                \center
                \begin{tikzpicture}[scale=0.35]
                    \input{tikz/lbm.tex}
                \end{tikzpicture}
                \caption{Exemple de LBM\footnotemark[\thefootnote]}
                \label{fig:LBMvisu}
            \end{figure}
        \end{column}
        \only<1>{
            \begin{column}{0.51\linewidth}
                \begin{block}{Modèle hiérarchique}
                    \vspace{-\baselineskip}
                    \begin{align*}
                        \forall q\in[\![ 1, Q_1]\!],~ & \mathbb{P}(Z_i = q) = \pi_q                          \\
                        \forall r\in[\![ 1, Q_2]\!],~ & \mathbb{P}(W_j = r) =  \rho_r                        \\
                                                      & Y_{ij} | Z_i, W_j \sim \mathcal{F}(\alpha_{Z_i,W_j})
                    \end{align*}
                    où $|\pi| = Q_1, |\rho| = Q_2, |\alpha| = Q_1 \times Q_2$
                \end{block}
                \begin{block}{Formule concise LBM}
                    $Y \sim \mathcal{F}\text{-BiSBM}_{n_1,n_2}(Q_1, Q_2, \pi, \rho, \alpha)$
                \end{block}
            \end{column}}
        \only<2>{
            \begin{column}{0.51\linewidth}
                Avec \begin{itemize}
                    \item $Q_1 = |\{{\color{blueind}\bullet},{\color{cyanind}\bullet},{\color{electricblue}\bullet}\}|$ blocs fixés en ligne
                    \item $Q_2 = |\{{\color{burntorange}\bullet},{\color{goldenyellow}\bullet},{\color{peach}\bullet}\}|$ blocs fixés en colonne
                \end{itemize}
                \begin{block}{Paramètres}
                    \begin{itemize}
                        \item $\pi_{{\color{blueind}\bullet}} = \mathbb{P}(Z_i = {\color{blueind}\bullet})$
                        \item $\rho_{{\color{burntorange}\bullet}} = \mathbb{P}(W_j = {\color{burntorange}\bullet})$
                        \item $\alpha_{{\color{blueind}\bullet}{\color{burntorange}\bullet}} = \mathbb{P}(Y_{ij} = 1 | Z_i = {\color{blueind}\bullet}, W_j = {\color{burntorange}\bullet})$
                    \end{itemize}
                \end{block}
            \end{column}}
    \end{columns}

    \footnotetext[\thefootnote]{Que j'appellerai par la suite BiSBM}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Plusieurs réseaux}
    \begin{figure}[ht]
        \centering
        \begin{subfigure}[ht]{0.3\textwidth}
            \includestandalone[width=1.1\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Bristol}
            \caption{Bristol}
        \end{subfigure}
        \begin{subfigure}[ht]{0.3\textwidth}
            \includestandalone[width=1.1\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Edinburgh}
            \caption{Edinburgh}
        \end{subfigure}
        \begin{subfigure}[ht]{0.3\textwidth}
            \includestandalone[width=1.1\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Leeds}
            \caption{Leeds}
        \end{subfigure}
        \caption{Matrices d'adjacence,~\cite{baldockSystemsApproachReveals2019a}}
        \label{fig:adj}
    \end{figure}
\end{frame}


\section[Modèles collection bipartites]{Modèles de collection de réseaux bipartites}
\label{sec:extension-de-colsbm-aux-reseaux-bipartites}
\begin{frame}
    \frametitle{Collections bipartites}
    \[
        \forall m \in \{1\dots M\}, Y^m \overset{ind}{\sim} \mathcal{F}\text{-BiSBM}_{n_1^m,n_2^m}(Q_1^m, Q_2^m, \pi^m, \rho^m, \alpha^m)
    \]
    \onslide<2>{
        \begin{figure}[ht]
            \centering
            \begin{subfigure}[ht]{0.3\textwidth}
                \includestandalone[width=1.1\textwidth]{tikz/applications/baldock/bisbm-mat-Baldock2019_Bristol}
                \caption{Bristol}
            \end{subfigure}
            \begin{subfigure}[ht]{0.3\textwidth}
                \includestandalone[width=1.1\textwidth]{tikz/applications/baldock/bisbm-mat-Baldock2019_Edinburgh}
                \caption{Edinburgh}
            \end{subfigure}
            \begin{subfigure}[ht]{0.3\textwidth}
                \includestandalone[width=1.1\textwidth]{tikz/applications/baldock/bisbm-mat-Baldock2019_Leeds}
                \caption{Leeds}
            \end{subfigure}
            \caption{Matrices d'adjacence réordonnées, grâce au LBM}
            \label{fig:adj-reord}
        \end{figure}
    }
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Différents modèles}
    \onslide<1->{    \begin{block}{\emph{iid}-colBiSBM}
            \[
                \forall m \in \{1\dots M\}, Y^m \overset{iid}{\sim}
                \mathcal{F}\text{-BiSBM}_{n_1^m,n_2^m}(Q_1, Q_2, \pi, \rho, \alpha)
            \]

            avec $\theta = (\pi, \rho, \alpha)$.
        \end{block}}
    \onslide<2>{    \begin{block}{$\pi\rho$-colBiSBM}
            \[
                \forall m \in \{1\dots M\}, Y^m \overset{ind}{\sim}
                \mathcal{F}\text{-BiSBM}_{n_1^m,n_2^m}(Q_1, Q_2, \pi^m, \rho^m, \alpha)
            \]

            avec $\theta = ((\pi^m)_{m=1,\dots, M}, (\rho^m)_{m=1,\dots, M}, \alpha)$.
        \end{block}
    }
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Estimation des paramètres}
    % DONE dire que tau i q m c' est la proba que Zim = q, approximation de la proba variationnelle. Parce qu on impose lindependance
    % Par maximisation d'une borne inférieure variationnelle de la
    % log-vraisemblance des données observées.
    Maximisation de la log-vraisemblance ?
    \begin{block}{log-vraisemblance et log-vraisemblance complète}
        \[
            \ell(\bm{Y};\theta) = \sum_{\bm{Z,W}\in \bm{\mathcal{Z}\times\mathcal{W}}} \ell_c(\bm{Y}, \bm{Z}, \bm{W};\theta)
        \]

        avec $\bm{\mathcal{Z}} = \{1,\dots,\alert<2>{Q_1}\}^{\alert<2>{n}}, \bm{\mathcal{W}} = \{1,\dots,\alert<2>{Q_2}\}^{\alert<2>{n}}$
    \end{block}
    \uncover<3>{Donc, algorithme classique $\Rightarrow$
        \emph{Expectation-Maximization} (EM).}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Par EM classique}
    A l'itération $(t)$ :
    \begin{itemize}
        \item[$\bullet$]\textbf{Étape E}: calculer
              $$ \mathcal{Q}(\theta | \theta^{(t-1)}) =   \mathbb E_{\alert<2>{\bm Z, \bm W | \bm Y, \theta^{(t-1)}} } \left[\ell_c(\bm Y, \bm W, \bm Z; \theta)  \right] $$
        \item[$\bullet$]\textbf{Étape M}:
              $$ \theta^{(t)} = \arg \max_{\theta} \mathcal{Q}(\theta | \theta^{(t-1)})$$
    \end{itemize}
    \uncover<2>{
        \begin{alertblock}{Problème pour l'EM classique}
            Loi de $\bm{Z,W|Y},\theta^{(t-1)}$ inaccessible
        \end{alertblock}}

\end{frame}

\begin{frame}
    Par \emph{Variational EM}, comme proposé
    par~\cite{daudinMixtureModelRandom2008,
        chabert-liddellLearningCommonStructures2024a}.
    \begin{block}{Approximation variationnelle de $\bm{Z,W|Y},\theta^{(t-1)}$}
        $\mathcal{R}_{Y^m,\tau}(\mathbf{Z}^m, \mathbf{W}^m) =
            \mathcal{R}^1_{Y^m,\tau}(\mathbf{Z}^m)
            {\color{red}\times}
            \mathcal{R}^2_{Y^m,\tau}(\mathbf{W}^m) \Rightarrow$ indépendance lignes, colonnes.
    \end{block}
    \begin{multline*}
        \ell (\bm{Y};\theta) \geq \color{red}\sum_{m=1}^{M} \bigg(
        \color{black} \mathcal{Q}^m(\theta\mid\theta^{(t)}) +
        \mathcal{H}(\mathcal{R}_{Y^m,\theta^{(t)}}
        (\mathbf{Z}^m, \mathbf{W}^m))
        \color{red}\bigg) \color{black}
        \eqcolon \mathcal{J}(\tau;\theta)
    \end{multline*}
    où $\mathcal{Q}^m(\theta\mid\theta^{(t)}) =
        \mathbb{E}_{\mathbf{Z}^m,\mathbf{W}^m
        \sim \mathcal{R}_{Y^m,\tau}(.)}
        \left[ \ell_c(Y^m,\mathbf{Z}^m,\mathbf{W}^m | \theta) \right] \,$
\end{frame}

\begin{frame}{Formule développée de l'EM variationnel}
    \begin{multline*}
        \ell (\bm{Y};\theta) \geq \color{red}\sum_{m=1}^{M} \bigg( \color{black} \sum_{i = 1}^{n_1^m}\sum_{j=1}^{n_2^m}\sum_{q \in \mathcal{Q}_{1,m}} \sum_{r \in \mathcal{Q}_{2,m}} \tau^{1,m}_{i,q} \tau^{2,m}_{j,r} \log f(Y^{m}_{ij}; \alpha_{qr}) \\
        + \sum_{i=1}^{n_1^m} \sum_{q \in \mathcal{Q}_{1,m}} \tau^{1,m}_{i,q} \log \pi_{\color{black}q}^{\color{gray}m} + \sum_{j=1}^{n_2^m} \sum_{r \in \mathcal{Q}_{2,m}} \tau^{2,m}_{j,r} \log \rho_{\color{black}r}^{\color{gray}m} \\
        - \sum_{i=1}^{n_1} \tau^{1,m}_{i,q} \log \tau^{1,m}_{i,q} - \sum_{j=1}^{n_2} \tau^{2,m}_{j,r} \log \tau^{2,m}_{j,r} \color{red}\bigg) \color{black} \eqcolon
        \mathcal{J}(\tau;\theta),
    \end{multline*}

    \begin{block}{Approximation variationnelle}
        $\tau_{iq}^{1,m} = \mathcal{R}^1_{Y^m,\tau}(Z_{iq}^m = 1)$
        et $\tau_{jr}^{2,m} = \mathcal{R}^2_{Y^m,\tau}(W_{jr}^m = 1)$
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Étape \emph{Variational Expectation}}
    \[
        \widehat{\tau}^{(t+1)} = \arg \max_{\tau}
        \mathcal{J}(\mathcal{\tau},\bm{\widehat{\theta}}^{(t)})
        \Leftrightarrow \arg\min_{\tau\in\mathcal{T}} \mathbf{KL}[\mathcal{R}_{\mathbf{Y},\tau}, \mathbb{P}(.|\mathbf{Y})]
    \]

    \begin{equation*}
        \begin{cases}
            \widehat{\tau}_{iq}^{1,m} \propto \widehat{\pi}_{q}^{m(t)} \prod_{j=1}^{n_2^m}\prod_{r\in\mathcal{Q}_2^m} f(Y_{ij}^m;\widehat{\alpha}_{qr}^{(t)})^{\widehat{\tau}_{jr}^{2,m(t+1)}}  & \forall i = 1, \dots , n_1^m, q \in \mathcal{Q}_1^m \\
            \widehat{\tau}_{jr}^{2,m} \propto \widehat{\rho}_{r}^{m(t)} \prod_{i=1}^{n_1^m}\prod_{q\in\mathcal{Q}_1^m} f(Y_{ij}^m;\widehat{\alpha}_{qr}^{(t)})^{\widehat{\tau}_{iq}^{1,m(t+1)}} & \forall j = 1, \dots , n_2^m, r \in \mathcal{Q}_2^m
        \end{cases}
    \end{equation*}
    \footnotetext[2]{Initialisation des $\widehat{\tau}$ avec un
        \emph{spectral clustering} sur les réseaux.}
\end{frame}

\begin{frame}{Étape \emph{Maximization}}
    \[
        \widehat{\theta}^{(t+1)} = \arg \max_{\theta} \mathcal{J}(\mathcal{\bm{\widehat{\tau}}}^{(t+1)},\theta)
    \]

    \begin{block}{Paramètres de connectivité}
        \begin{align*}
            \widehat{\alpha}_{qr} = \frac{\sum_{m=1}^{M} \sum_{i=1}^{n_1^m} \sum_{j=1}^{n_2^m} \tau_{iq}^{1,m} \tau_{jr}^{2,m} \alert<2>{Y_{ij}^m}}{\sum_{m=1}^{M} \sum_{i=1}^{n_1^m} \sum_{j=1}^{n_2^m} \tau_{iq}^{1,m} \tau_{jr}^{2,m}}
        \end{align*}
    \end{block}
    \only<1>{
        \begin{block}{Proportions pour \emph{iid}}
            \begin{align*}
                \widehat{\pi}_q = \frac{\sum_{m=1}^{M} \sum_{i=1}^{n_1^m} \tau_{iq}^{1,m}}{\sum_{m=1}^{M} n_1^m} &  &
                \widehat{\rho}_r = \frac{\sum_{m=1}^{M} \sum_{j=1}^{n_2^m} \tau_{jr}^{2,m}}{\sum_{m=1}^{M} n_2^m}
            \end{align*}
        \end{block}
    }
    \only<2>{
        \begin{block}{Proportions pour $\pi\rho$}
            \begin{align*}
                \widehat{\pi}^{\color{red}m}_q = \frac{\sum_{i=1}^{n_1^m} \tau_{iq}^{1,m}}{n_1^m} &  &
                \widehat{\rho}^{\color{red}m}_r = \frac{\sum_{j=1}^{n_2^m} \tau_{jr}^{2,m}}{n_2^m}
            \end{align*}
        \end{block}
    }

\end{frame}

\section{Sélection de modèle}
\begin{frame}
    \frametitle{Problème choix de $(Q_1, Q_2)$}
    Besoin sélectionner $Q_1$ et $Q_2$. Critère BIC-Like\footnote{ICL + Entropie + pénalité}

    \begin{align*}
        \text{BIC-L}(\bm{Y}, Q_1, Q_2) & = \max_{\theta} \mathbb{E}_{\mathcal{R}_{\mathbf{Y},\hat{\tau}}} [\ell_c(\bm{Y,Z,W};\theta)] + \mathcal{H(\mathcal{R}_{\mathbf{Y},\hat{\tau}})} - \frac{1}{2}\text{pen}(\theta, Q_1, Q_2) \\
                                       & = \max_{\theta} \mathcal{J(\mathcal{R}_{\mathbf{Y},\hat{\tau}}, \theta)} - \frac{1}{2}\text{pen}(\theta, Q_1, Q_2)
    \end{align*}


    \begin{alertblock}{Problèmes de l'exploration}
        \begin{itemize}
            \item Exploration de $\mathbb{N}^2$ coûteux.
            \item Sensibilité initialisations.
        \end{itemize}
    \end{alertblock}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Choix de $(Q_1,Q_2)$ - Approche gloutonne}
    \begin{columns}
        \begin{column}{0.5\linewidth}
            \begin{tikzpicture}
                \input{tikz/greedy-exploration.tex}
            \end{tikzpicture}
        \end{column}
        \begin{column}{0.35\linewidth}
            \begin{itemize}
                \item Modèle initialisé~:\\
                      \begin{tikzpicture}
                          \draw[fill=gray, draw=gray] circle [radius=0.225cm];
                      \end{tikzpicture}
                      \onslide<2->{
                \item Modèle après \emph{split}~:
                      \begin{tikzpicture}
                          \draw[fill=blueind, draw=blueind] circle [radius=0.225cm];
                      \end{tikzpicture}
                \item Modèle maximisant le critère~:\\
                      \begin{tikzpicture}
                          \draw[fill=white, draw=green, very thick] circle [radius=0.225cm];
                      \end{tikzpicture}
                      }
                      \onslide<3->{
                \item Modèle après \emph{merge}~:
                      \begin{tikzpicture}
                          \draw[fill=red, draw=red] circle [radius=0.225cm];
                      \end{tikzpicture}
                      }
            \end{itemize}
        \end{column}
    \end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Choix de $(Q_1,Q_2)$ - Fenêtre glissante}
    \begin{columns}
        \begin{column}{0.6\textwidth}
            \begin{figure}
                \input{tikz/moving-window}
                \caption{Fenêtre glissante}
            \end{figure}
        \end{column}
        \begin{column}{0.4\textwidth}
            \only<3>{\begin{block}{}
                    Initialisation du modèle si nécessaire
                \end{block}}
            \only<9>{\begin{block}{}
                    Localisation du nouveau mode
                \end{block}}
            \only<10>{\begin{block}{}
                    Déplacement sur le nouveau mode puis itération
                \end{block}}
        \end{column}
    \end{columns}
\end{frame}

\section{Application}
\label{sec:application}

\begin{frame}
    \frametitle{Résultats~\cite{baldockSystemsApproachReveals2019a}}

    \only<1>{
        \begin{figure}[ht]
            \centering
            \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
                \centering
                \includestandalone[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Bristol}
                \caption{Bristol}
            \end{subfigure}\hfil
            \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
                \centering
                \includestandalone[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Edinburgh}
                \caption{Edinburgh}
            \end{subfigure}
            \newline
            \begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
                \centering
                \includestandalone[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Leeds}
                \caption{Leeds}
            \end{subfigure}\hfil
            \begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
                \centering
                \includestandalone[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Reading}
                \caption{Reading}
            \end{subfigure}
            \caption{Matrices d'adjacence,~\cite{baldockSystemsApproachReveals2019a}}
        \end{figure}
    }
    \only<2>{
        \begin{figure}[ht]
            \centering
            \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
                \centering
                \includestandalone[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Bristol}
                \caption{Bristol}
            \end{subfigure}\hfil
            \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
                \centering
                \includestandalone[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Edinburgh}
                \caption{Edinburgh}
            \end{subfigure}
            \newline
            \begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
                \centering
                \includestandalone[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Leeds}
                \caption{Leeds}
            \end{subfigure}\hfil
            \begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
                \centering
                \includestandalone[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Reading}
                \caption{Reading}
            \end{subfigure}
            \caption{Matrices d'adjacence réordonnée par \emph{iid}-colBiSBM,~\cite{baldockSystemsApproachReveals2019a}}
        \end{figure}
    }
\end{frame}



\begin{frame}
    \frametitle{Clustering de réseaux}
    \begin{figure}[ht]
        \includestandalone[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2011_TB+Baldock2011_JN}
        \caption{Matrice d'adjacence,~\cite{baldockDailyTemporalStructure2011}}
    \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}[allowframebreaks]
    \frametitle{Application à~\cite{baldockDailyTemporalStructure2011,
            baldockSystemsApproachReveals2019a}}
    \begin{figure}[t]
        \centering
        \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
            \centering
            \includegraphics[scale=0.2,angle=-90]{backup-app-iid.png}
            \caption{Modèle $iid$}
        \end{subfigure}%
        ~
        \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
            \centering
            \includegraphics[scale=0.2,angle=-90]{backup-app-pirho.png}
            \caption{Modèle $\pi\rho$}
        \end{subfigure}%
        \caption{Partitionnement des réseaux
            de~\cite{baldockDailyTemporalStructure2011,
                baldockSystemsApproachReveals2019a}}
    \end{figure}

    \begin{figure}[t]
        \centering
        \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
            \centering
            \includegraphics[scale=0.1]{backup-app-iid-struct1.png}
            \includegraphics[scale=0.2]{backup-app-iid-struct2.png}
            \caption{Modèle $iid$,\\
                séparent réseau africain et réseaux anglais}
        \end{subfigure}%
        ~
        \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
            \centering
            \includegraphics[scale=0.2]{backup-app-pirho-struct.png}
            \caption{Modèle $\pi\rho$,\\
                fusionnent réseaux africain et anglais}
        \end{subfigure}%
        \caption{Structures détectées pour les réseaux
            de~\cite{baldockDailyTemporalStructure2011,
                baldockSystemsApproachReveals2019a}}
    \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Algorithme du clustering}
    \centering
    \vspace{0.25\baselineskip}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.85]
        \input{tikz/clustering.tex}
    \end{tikzpicture}
    \[
        D_{\mathcal{M}}(m,m') = \sum_{q = 1}^{Q_1} \sum_{r = 1}^{Q_2} \max(\widetilde{\pi}_{q}^{m}, \widetilde{\pi}_{q}^{m'}) \left( \widetilde{\alpha}_{qr}^{m} - \widetilde{\alpha}_{qr}^{m'}\right)^{2} \max(\widetilde{\rho}_{r}^{m}, \widetilde{\rho}_{r}^{m'})
    \]
\end{frame}

\begin{frame}{Résultats}
    \begin{figure}[ht]
        \centering
        \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
            \centering
            \includestandalone[width=1\textwidth]{tikz/applications/baldock/bisbm-mat-Baldock2011_TB+Baldock2011_JN}
            \caption{Réordonnée par LBM}
        \end{subfigure}\hfil
        \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
            \centering
            \includestandalone[width=1\textwidth]{tikz/applications/baldock/pirho-colbisbm-mat-Baldock2011_TB+Baldock2011_JN}
            \caption{Réordonnée par $\pi\rho$-colBiSBM}
        \end{subfigure}

        \caption{Matrice d'adjacence réordonnée par $\pi\rho$-colBiSBM,~\cite{baldockDailyTemporalStructure2011}}
    \end{figure}
\end{frame}


\section{Conclusion}
\label{sec:conclusion}
\begin{frame}
    \frametitle{Conclusion et perspectives}
    % DONE Ajouter une slide conclusion perspective
    % Rappeler les modeles avec clustering
    % Evoquer l'analyse de reseaux corrigés pour l'échantillonnage
    % Lien vers le package
    \begin{block}{Capacités}
        \begin{itemize}
            \item 4 modèles dont 3 qui ont une flexibilité sur au moins une des
                  dimensions (adaptabilité aux données).
            \item Détecter structures classiques et moins classique de façon
                  agnostique.
            \item Partitionner un ensemble de réseaux selon leurs structures.
        \end{itemize}
    \end{block}


\end{frame}

\begin{frame}{Perspectives}
    \begin{itemize}
        \item Investiguer stabilité face à l'aléatoire et aux \emph{optima} locaux.
        \item Preuve d'identifiabilité du modèle $\pi\rho$.
    \end{itemize}

    \begin{block}{Package et applications}
        \begin{itemize}
            \item Intégration au package \texttt{colSBM}, amélioration interface utilisateur et ajout retours écologues
            \item Publication CRAN
            \item Intégrer possibilité d'un critère supplémentaire pour le
                  clustering
            \item Appliquer clustering données de \cite{pichonTellingMutualisticAntagonistic2024,doreRelativeEffectsAnthropogenic2021}
        \end{itemize}

    \end{block}
    \bigskip
    \centering
    Merci pour votre attention~!
\end{frame}