\section{Contexte du modèle}
\label{sec:contexte-du-modele}

\begin{frame}
    \begin{columns}
        \begin{column}{0.5\textwidth}
            \begin{block}{Contexte écologique}
                \begin{itemize}
                    \small
                    \item Nombreux réseaux disponibles pour
                          interactions similaires.
                    \item Suivi biodiversité, robustesse et risque
                          d'effondrement \dots
                \end{itemize}
                \begin{columns}
                    \begin{column}{0.5\textwidth}
                        \begin{figure}[ht]
                            \centering
                            \begin{tikzpicture}[scale=.45,rotate=270]
                                \input{../tikz/plantpollinatornetwork.tex}
                            \end{tikzpicture}
                            \caption{Exemple d'un réseau plantes-pollinisateurs}
                            \label{fig:plantes-pollin}
                        \end{figure}
                    \end{column}
                    \begin{column}{0.4\textwidth}
                        \centering
                        \begin{align*}
                            \begin{pmatrix}
                                1 & 0 & 1 \\
                                1 & 0 & 0 \\
                                1 & 0 & 0 \\
                                1 & 1 & 0
                            \end{pmatrix}
                        \end{align*}
                        \footnotesize
                        Matrice d'adjacence associée
                    \end{column}
                \end{columns}
            \end{block}

        \end{column}
        \onslide<2>{
            \begin{column}{0.45\textwidth}
                \begin{block}{Contexte mathématique}
                    Pour un unique réseau~: variables latentes,
                    \emph{embedding}, \dots

                    Motivations pour proposer des méthodes adaptées aux collections
                    de réseaux~:
                    \begin{itemize}
                        \item Espèces différentes, rôles analogues.
                        \item Transfert d'informations grands vers petits réseaux.
                        \item Regrouper les réseaux selon leur similarité (\emph{clustering}
                              de réseaux).
                    \end{itemize}
                \end{block}
            \end{column}
        }
    \end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}
    \addtocounter{footnote}{1}
    \frametitle{Latent Block Model (LBM\footnotemark[\thefootnote])}
    %DONE remplacer i \in bullet par Zi = \bullet
    Proposé par~\cite{govaertEMAlgorithmBlock2005}.
    \begin{columns}
        \begin{column}{0.40\linewidth}
            \begin{figure}[H]
                \center
                \begin{tikzpicture}[scale=0.35]
                    \input{../tikz/lbm.tex}
                \end{tikzpicture}
                \caption{Exemple de LBM\footnotemark[\thefootnote]}
                \label{fig:LBMvisu}
            \end{figure}
        \end{column}
        \begin{column}{0.51\linewidth}
            Pour \begin{itemize}
                \item $Q_1 = |\{{\color{blueind}\bullet},{\color{cyanind}\bullet},{\color{electricblue}\bullet}\}|$ blocs fixés en ligne
                \item $Q_2 = |\{{\color{burntorange}\bullet},{\color{goldenyellow}\bullet},{\color{peach}\bullet}\}|$ blocs fixés en colonne
            \end{itemize}
            \begin{block}{Paramètres}
                \begin{itemize}
                    \item $\pi_{\bullet} = \mathbb{P}(Z_i = \bullet)$ en ligne et $\rho_{\bullet} = \mathbb{P}(W_j = \bullet)$ en colonne
                    \item $\alpha_{{\color{blueind}\bullet}{\color{burntorange}\bullet}} = \mathbb{P}(X_{ij} = 1 | Z_i = {\color{blueind}\bullet}, W_j = {\color{burntorange}\bullet})$
                \end{itemize}
            \end{block}
        \end{column}
    \end{columns}

    \footnotetext[\thefootnote]{Que j'appellerai par la suite BiSBM}

\end{frame}

\section{Modèle de collection de réseaux bipartites}
\label{sec:extension-de-colsbm-aux-reseaux-bipartites}
\begin{frame}
    \frametitle{Collections bipartites}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.33]
        \input{../tikz/collbm-iid.tex}
    \end{tikzpicture}

    \begin{itemize}
        \item $Q_1 = |\{{\color{blueind}\bullet},{\color{cyanind}\bullet},{\color{electricblue}\bullet}\}|$ blocs fixés en ligne
        \item $Q_2 = |\{{\color{burntorange}\bullet},{\color{goldenyellow}\bullet},{\color{peach}\bullet}\}|$ blocs fixés en colonne
    \end{itemize}
    \begin{block}{Paramètres}
        \begin{itemize}
            \item $\pi_{\bullet} = \mathbb{P}(Z_i =\bullet)$ en ligne et $\rho_{\bullet} = \mathbb{P}(W_j = \bullet)$ en colonne
            \item $\alpha_{{\color{blueind}\bullet}{\color{burntorange}\bullet}} = \mathbb{P}(X_{ij} = 1  | Z_i = {\color{blueind}\bullet}, W_j = {\color{burntorange}\bullet})$
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Différents modèles}
    \only<1>{
        \begin{tikzpicture}[scale=0.33]
            \input{../tikz/collbm-iid.tex}
        \end{tikzpicture}
        \begin{block}{\emph{iid-colBiSBM}}
            $\bm{\pi} = (\pi_1, \dots \pi_{Q_1})$ et $\bm{\rho} = (\rho_1, \dots \rho_{Q_2})$
        \end{block}
    }
    \only<2>{
        \begin{tikzpicture}[scale=0.33]
            \input{../tikz/collbm-pirho.tex}
        \end{tikzpicture}
        \begin{block}{\emph{$\pi\rho$-colBiSBM}}
            $\bm{\pi} = ((\pi_{\color{black}1}^{\color{red}m}, \dots \pi_{\color{black}Q_1}^{\color{red}m}))_{m=1,\dots M}$ et $\bm{\rho} = ((\rho_{\color{black}1}^{\color{red}m}, \dots \rho_{\color{black}Q_2}^{\color{red}m}))_{m=1,\dots M}$ %{$\forall q \in \llbracket 1, Q_1 - 1\rrbracket, \pi_q > 0$ et $\forall r \in \llbracket 1, Q_2 - 1\rrbracket, \rho_r > 0$}
            \small \\
            avec $\forall q,m \in \llbracket 1, Q_1 \rrbracket \times \llbracket 1, M \rrbracket, \pi_q^m \in \left[ 0,1 \right]$
            et $\forall r,m \in \llbracket 1, Q_2 \rrbracket \times \llbracket 1, M \rrbracket, \rho_r^m \in \left[ 0,1 \right]$
        \end{block}
    }
    Dans tous les modèles la structure de connectivité ($\bm{\alpha}$) est supposée identique au sein de la collection.
\end{frame}
\begin{frame}
    \frametitle{Estimation des paramètres}
    % DONE dire que tau i q m c' est la proba que Zim = q, approximation de la proba variationnelle. Parce qu on impose lindependance
    % Par maximisation d'une borne inférieure variationnelle de la
    % log-vraisemblance des données observées.
    En adaptant \cite{chabert-liddellLearningCommonStructures2024a} qui se base
    sur la méthode proposée par \cite{daudinMixtureModelRandom2008} utilisant
    l'algorithme \emph{Variational EM}.
    \begin{multline*}
        \ell (\bm{X};\bm{\theta}) \geq \color{red}\sum_{m=1}^{M} \bigg(
        \color{black} Q^m(\boldsymbol\theta\mid\boldsymbol\theta^{(t)}) +
        \mathcal{H}(\mathcal{R}_{\mathbf{X}^m,\boldsymbol\theta^{(t)}}
        (\mathbf{Z}^m, \mathbf{W}^m))
        \color{red}\bigg) \color{black}
        =: J(\bm{\tau};\bm{\theta})
    \end{multline*}
    où $Q^m(\boldsymbol\theta\mid\boldsymbol\theta^{(t)}) =
        \operatorname{E}_{\mathbf{Z}^m,\mathbf{W}^m
        \sim \mathcal{R}_{\mathbf{X}^m,\boldsymbol\theta^{(t)}}(.)}
        \left[ \log p (\mathbf{X}^m,\mathbf{Z}^m,\mathbf{W}^m | \boldsymbol\theta) \right] \,$

    \begin{block}{Approximation variationnelle}
        $\mathcal{R}_{\mathbf{X}^m,\boldsymbol\theta^{(t)}}(\mathbf{Z}^m, \mathbf{W}^m) =
            P(\mathbf{Z}^m | \mathbf{X}^m,\boldsymbol\theta^{(t)}) P(\mathbf{W}^m | \mathbf{X}^m,\boldsymbol\theta^{(t)})$, c'est à dire avoir
        une indépendance lignes, colonnes.
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Formule développée de l'EM variationnel}
    \begin{multline*}
        \ell (\bm{X};\bm{\theta}) \geq \color{red}\sum_{m=1}^{M} \bigg( \color{black} \sum_{i = 1}^{n_1^m}\sum_{j=1}^{n_2^m}\sum_{q \in \mathcal{Q}_{1,m}} \sum_{r \in \mathcal{Q}_{2,m}} \tau^{1,m}_{i,q} \tau^{2,m}_{j,r} \log f(X^{m}_{ij}; \alpha_{qr}) \\
        + \sum_{i=1}^{n_1^m} \sum_{q \in \mathcal{Q}_{1,m}} \tau^{1,m}_{i,q} \log \pi_{\color{black}q}^{\color{gray}m} + \sum_{j=1}^{n_2^m} \sum_{r \in \mathcal{Q}_{2,m}} \tau^{2,m}_{j,r} \log \rho_{\color{black}r}^{\color{gray}m} \\
        - \sum_{i=1}^{n_1} \tau^{1,m}_{i,q} \log \tau^{1,m}_{i,q} - \sum_{j=1}^{n_2} \tau^{2,m}_{j,r} \log \tau^{2,m}_{j,r} \color{red}\bigg) \color{black} =: J(\bm{\tau};\bm{\theta}),
    \end{multline*}
    où $\ell$ désigne la $\log$ vraisemblance.

    \begin{block}{Approximation variationnelle}
        $\tau_{i,q}^{1,m} = P_{\mathcal{R}_m}(Z_{iq}^m = 1|X_{i\bullet}^m)$
        et $\tau_{j,r}^{2,m} = P_{\mathcal{R}_m}(W_{jr}^m = 1|X_{\bullet j}^m)$
    \end{block}
\end{frame}

\section{Sélection de modèle}
\begin{frame}
    \frametitle{Problème de choix de $(Q_1, Q_2)$}
    \underline{L'estimation de paramètres se fait à $Q_1, Q_2$ blocs fixés}, il faut donc déterminer les \enquote*{meilleures} coordonnées.
    Nous maximisons un critère, le \emph{Bayesian Information Criterion - Like}
    (BIC-L), de vraisemblance pénalisée en adaptant les formules
    de~\cite{chabert-liddellLearningCommonStructures2024a}.

    \begin{alertblock}{Problèmes de l'exploration}
        \begin{itemize}
            \item Exploration de l'espace $\mathbb{N}^2$ coûteux, besoin d'une
                  stratégie.
            \item Sensibilité aux initialisations et à l'aléatoire.
        \end{itemize}

    \end{alertblock}
\end{frame}

\section{Application}
\label{sec:application}

\begin{frame}
    \frametitle{Clustering de réseaux}
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \input{../tikz/clustering.tex}
    \end{tikzpicture}
\end{frame}

\begin{frame}[allowframebreaks]
    \frametitle{Application à~\cite{baldockDailyTemporalStructure2011,
            baldockSystemsApproachReveals2019a}}
    \begin{figure}[t]
        \centering
        \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
            \centering
            \includegraphics[scale=0.2,angle=-90]{backup-app-iid.png}
            \caption{Modèle $iid$,\\
                séparent réseau africain et réseaux anglais}
        \end{subfigure}%
        ~
        \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
            \centering
            \includegraphics[scale=0.2,angle=-90]{backup-app-pirho.png}
            \caption{Modèle $\pi\rho$,\\
                fusionnent réseaux africain et anglais}
        \end{subfigure}%
        \caption{Partitionnement des réseaux
            de~\cite{baldockDailyTemporalStructure2011,
                baldockSystemsApproachReveals2019a}}
    \end{figure}

    \begin{figure}[t]
        \centering
        \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
            \centering
            \includegraphics[scale=0.1]{backup-app-iid-struct1.png}
            \includegraphics[scale=0.2]{backup-app-iid-struct2.png}
            \caption{Modèle $iid$,\\
                séparent réseau africain et réseaux anglais}
        \end{subfigure}%
        ~
        \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
            \centering
            \includegraphics[scale=0.2]{backup-app-pirho-struct.png}
            \caption{Modèle $\pi\rho$,\\
                fusionnent réseaux africain et anglais}
        \end{subfigure}%
        \caption{Structures détectées pour les réseaux
            de~\cite{baldockDailyTemporalStructure2011,
                baldockSystemsApproachReveals2019a}}
    \end{figure}
\end{frame}

\section{Conclusion}
\label{sec:conclusion}
\begin{frame}
    \frametitle{Conclusion et perspectives}
    % DONE Ajouter une slide conclusion perspective
    % Rappeler les modeles avec clustering
    % Evoquer l'analyse de reseaux corrigés pour l'échantillonnage
    % Lien vers le package
    \begin{block}{Capacités}
        \begin{itemize}
            \item 4 modèles dont 3 qui ont une flexibilité sur au moins une des
                  dimensions (adaptabilité aux données).
            \item Détecter structures classiques et moins classique de façon
                  agnostique.
            \item Partitionner un ensemble de réseaux selon leurs structures.
        \end{itemize}
    \end{block}

    \begin{block}{Perspectives}
        \begin{itemize}
            \item Investiguer stabilité à l'aléatoire.
            \item Intégration au package \texttt{colSBM} et publication CRAN
            \item Preuve d'identifiabilité du modèle $\pi\rho$.
        \end{itemize}
    \end{block}

    \bigskip
    \centering
    Merci pour votre attention~!

\end{frame}