#+TITLE:  À propos du calcul de \pi
#+AUTHOR: Louis Lacoste
#+DATE:   2022-11-17
#+LANGUAGE: fr
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#+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/js/readtheorg.js"></script>

#+PROPERTY: header-args :session :exports both

* En demandant à la lib maths
  Mon ordinateur m'indique que \pi vaut /approximativement/
  #+begin_src R :results output :session *R* :exports both
  pi
  #+end_src

  #+RESULTS:
  : [1] 3.141593

* En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
 Mais calculé avec la *méthode* des [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon][aiguilles de Buffon]], on obtiendrait
 comme *approximation* :
 #+begin_src R :results output :session *R* :exports both
 set.seed(42)
 N = 100000
 x = runif(N)
 theta = pi/2*runif(N)
 2/(mean(x+sin(theta)>1)
 #+end_src
* Avec un argumennt "fréquentiel" de surface
Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas
intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si
$X \sim U(0,1) et Y \sim U(0,1)$ alors $P[X^{2} + Y^{2} \leq 1] = \pi/4$ (voir
[[https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80][méthode de Monte Carlo sur Wikipedia]]). Le code suivant illustre ce
fait :
#+begin_src R :results output graphics :file (org-babel-temp-file "figure" ".png") :exports both :width 600 :height 400 :session *R*
set.seed(42)
N = 1000
df = data.frame(X = runif(N), Y = runif(N))
df$Accept = (df$X**2 + df$Y**2 <= 1)
library(ggplot2)
ggplot(df, aes(x=X,y=Y,color=Accept)) + geom_point(alpha=.2) + coord_fixed() + theme_bw()
#+end_src

Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de \pi en
comptant combien de fois, en moyenne, $X^2 + Y^2$ est inférieur à 1 :
#+begin_src R :results output :session *R* :exports both
4*mean(df$Accept)
#+end_src