#+TITLE:  À propos du calcul de \pi
#+AUTHOR: Louis Lacoste
#+DATE:   2022-11-17
#+LANGUAGE: fr
# #+PROPERTY: header-args :eval never-export

#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/htmlize.css"/>
#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/readtheorg.css"/>
#+HTML_HEAD: <script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.3/jquery.min.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script src="https://maxcdn.bootstrapcdn.com/bootstrap/3.3.4/js/bootstrap.min.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/lib/js/jquery.stickytableheaders.js"></script>
#+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/js/readtheorg.js"></script>

* En demandant à la lib maths
Mon ordinateur m'indique que \pi vaut /approximativement/:
#+begin_src python :results output :session :exports both
from math import *
print(pi)
#+end_src

#+RESULTS:
: 3.141592653589793

* En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
Mais calculé avec la *méthode* des [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon][aiguilles de Buffon]], on obtiendrait
comme *approximation* :
#+begin_src python :results output :session :exports both
import numpy as np
np.random.seed(seed=42)
N = 10000
x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
theta = np.random.uniform(size=N, low=0, high=pi/2)
print(2/(sum((x+np.sin(theta))>1)/N))
#+end_src

#+RESULTS:
: 3.128911138923655

* Avec un argument "fréquentiel" de surface
Sinon, une méthode plus simplé à comprendre et ne faisant pas
intervenir d'appel à la fonction sinus se base sur le fait que si $X \sim
U(0,1)$ et $Y \sim U(0,1)$ alors $P[X^2+Y^2 \leq 1] = \pi / 4$ (voir
[[https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80][méthode de Monte Carlo sur Wikipedia]]). Le code suivant illustre ce
fait :
#+begin_src python :results output :session :exports both
import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(seed=42)
N = 1000
x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
y = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)

accept = (x*x+y*y) <= 1
reject = np.logical_not(accept)

fig, ax = plt.subplots(1)
ax.scatter(x[accept], y[accept], c='b', alpha=0.2, edgecolor=None)
ax.scatter(x[reject], y[reject], c='r', alpha=0.2, edgecolor=None)
ax.set_aspect('equal')

plt.savefig('montecarlo.png')
print('file:'+'montecarlo.png')
#+end_src

#+RESULTS:
: file:montecarlo.png
file:montecarlo.png

Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de \pi en
comptant combien de fois, en moyenne, $X^2+Y^2$ est inférieur à 1 : 
#+begin_src python :results output :session :exports both
4*np.mean(accept)
#+end_src

#+RESULTS:
: 3.112