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@ -0,0 +1,78 @@
\section{VEM}
\begin{frame}
\frametitle{Pourquoi VE minimise KL ?}
\begin{align*}
\ell_c(\bY,\bZ,\bW;\theta) & = \log \Prob(\bZ, \bW|\bY;\theta) + \ell(\bY;\theta) \\
\Leftrightarrow \ell(\bY;\theta) & = \ell_c(\bY,\bZ,\bW;\theta) - \log \Prob(\bZ, \bW|\bY;\theta) \\
\Leftrightarrow \Esp_{\Ryt}[\ell(\bY;\theta)] & = \Esp_{\Ryt}[\ell_c(\bY,\bZ,\bW;\theta)] - \Esp_{\Ryt}[\log \Prob(\bZ,\bW|\bY;\theta)] \\
\Leftrightarrow \ell(\bY;\theta) & = \Esp_{\Ryt}[\ell_c(\bY,\bZ,\bW;\theta)] - \Esp_{\Ryt}[\log \Prob(\bZ,\bW|\bY;\theta)] \\
\end{align*}
\begin{align*}
\text{Or }\KL{\Ryt}{\log \Prob(\bZ,\bW|\bY;\theta)} & = - \Esp_{\Ryt} [\log \frac{\Prob(\bZ,\bW|\bY;\theta)}{\Ryt}] \\
= - \Esp_{\Ryt} [\log \Prob(\bZ,\bW|\bY;\theta)] + & \underbrace{\Esp_{\Ryt[\log \Ryt]}}_{-\Hshannon(\Ryt)} \\
\Leftrightarrow \KL{\Ryt}{\log \Prob(\bZ,\bW|\bY;\theta)} + \Hshannon(\Ryt) & = - \Esp_{\Ryt} [\log \Prob(\bZ,\bW|\bY;\theta)]
\end{align*}
D'où $\ell(\bY;\theta) - \KL{\Ryt}{\log \Prob(\bZ,\bW|\bY;\theta)} = \mathcal{J}(\tau;\theta) \qed$
\end{frame}
\section{Résultats~\cite{baldockSystemsApproachReveals2019a,baldockDailyTemporalStructure2011}}
\begin{frame}[allowframebreaks]
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Bristol.pdf}
\caption{Donnée}
\end{subfigure}\hfil
\begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Bristol.pdf}
\caption{Réordonnée}
\end{subfigure}
\caption{Bristol}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Edinburgh.pdf}
\caption{Donnée}
\end{subfigure}\hfil
\begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Edinburgh.pdf}
\caption{Réordonnée}
\end{subfigure}
\caption{Edinburgh}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Leeds.pdf}
\caption{Donnée}
\end{subfigure}\hfil
\begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Leeds.pdf}
\caption{Réordonnée}
\end{subfigure}
\caption{Leeds}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Reading.pdf}
\caption{Donnée}
\end{subfigure}\hfil
\begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Reading.pdf}
\caption{Réordonnée}
\end{subfigure}
\caption{Reading}
\end{figure}
\end{frame}

554
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@ -0,0 +1,554 @@
\section{Contexte du modèle}
\label{sec:contexte-du-modele}
\begin{frame}
\frametitle{Pourquoi un réseau ?}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=.6,rotate=270]
\input{tikz/plantpollinatornetwork.tex}
\end{tikzpicture}
\caption{Exemple d'un réseau}
\label{fig:plantes-pollin}
\end{figure}
\end{column}
\begin{column}{0.3\textwidth}
\centering
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
\footnotesize
Matrice d'adjacence associée
\end{column}
\end{columns}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includestandalone[width=0.7\textwidth]{tikz/applications/baldock/graph-Baldock2019_Bristol}
\caption{Réseau plante-pollinisateur de
Bristol\newline\cite{baldockSystemsApproachReveals2019a}}
\label{fig:label}
\end{figure}
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{itemize}
\item Modélisation d'interactions variées, ici d'écosystèmes
\item Structure nécessaire pour~: suivi biodiversité, robustesse, risque
d'effondrement
\item De plus en plus disponibles
\end{itemize}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}{Méthodes d'analyse pour un réseau}
Plusieurs méthodes~:
\begin{itemize}
\item Métriques~: degré, centralité, emboîtement \dots
\item Plongement des réseaux avec GNN
\item \textbf<2>{\emph{Clustering} des n\oe uds avec modèles à variables latentes}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
\addtocounter{footnote}{1}
\frametitle{Latent Block Model (LBM\footnotemark[\thefootnote])}
%DONE remplacer i \in bullet par Zi = \bullet
\cite{govaertEMAlgorithmBlock2005}.
\begin{columns}
\begin{column}{0.40\linewidth}
\begin{figure}[H]
\center
\begin{tikzpicture}[scale=0.35]
\input{tikz/lbm.tex}
\end{tikzpicture}
\caption{Exemple de LBM\footnotemark[\thefootnote]}
\label{fig:LBMvisu}
\end{figure}
\end{column}
\only<1>{
\begin{column}{0.51\linewidth}
\begin{block}{Modèle hiérarchique}
\vspace{-\baselineskip}
\begin{align*}
\forall q\in[\![ 1, Q_1]\!],~ & \mathbb{P}(Z_i = q) = \pi_q \\
\forall r\in[\![ 1, Q_2]\!],~ & \mathbb{P}(W_j = r) = \rho_r \\
& Y_{ij} | Z_i, W_j \sim \mathcal{F}(\alpha_{Z_i,W_j})
\end{align*}
où $|\pi| = Q_1, |\rho| = Q_2, |\alpha| = Q_1 \times Q_2$
\end{block}
\begin{block}{Formule concise LBM}
$Y \sim \mathcal{F}\text{-BiSBM}_{n_1,n_2}(Q_1, Q_2, \pi, \rho, \alpha)$
\end{block}
\end{column}}
\only<2>{
\begin{column}{0.51\linewidth}
Avec \begin{itemize}
\item $Q_1 = |\{{\color{blueind}\bullet},{\color{cyanind}\bullet},{\color{electricblue}\bullet}\}|$ blocs fixés en ligne
\item $Q_2 = |\{{\color{burntorange}\bullet},{\color{goldenyellow}\bullet},{\color{peach}\bullet}\}|$ blocs fixés en colonne
\end{itemize}
\begin{block}{Paramètres}
\begin{itemize}
\item $\pi_{{\color{blueind}\bullet}} = \mathbb{P}(Z_i = {\color{blueind}\bullet})$
\item $\rho_{{\color{burntorange}\bullet}} = \mathbb{P}(W_j = {\color{burntorange}\bullet})$
\item $\alpha_{{\color{blueind}\bullet}{\color{burntorange}\bullet}} = \mathbb{P}(Y_{ij} = 1 | Z_i = {\color{blueind}\bullet}, W_j = {\color{burntorange}\bullet})$
\end{itemize}
\end{block}
\end{column}}
\end{columns}
\footnotetext[\thefootnote]{Que j'appellerai par la suite BiSBM}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Plusieurs réseaux}
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{subfigure}[ht]{0.3\textwidth}
\includegraphics[width=1.1\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Bristol.pdf}
\caption{Bristol}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}[ht]{0.3\textwidth}
\includegraphics[width=1.1\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Edinburgh.pdf}
\caption{Edinburgh}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}[ht]{0.3\textwidth}
\includegraphics[width=1.1\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Leeds.pdf}
\caption{Leeds}
\end{subfigure}
\caption{Matrices d'adjacence,~\cite{baldockSystemsApproachReveals2019a}}
\label{fig:adj}
\end{figure}
\end{frame}
\section[Modèles collection bipartites]{Modèles de collection de réseaux bipartites}
\label{sec:extension-de-colsbm-aux-reseaux-bipartites}
\begin{frame}
\frametitle{Collections bipartites}
\[
\forall m \in \{1\dots M\}, Y^m \overset{ind}{\sim} \mathcal{F}\text{-BiSBM}_{n_1^m,n_2^m}(Q_1^m, Q_2^m, \pi^m, \rho^m, \alpha^m)
\]
\onslide<2>{
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{subfigure}[ht]{0.3\textwidth}
\includegraphics[width=1.1\textwidth]{tikz/applications/baldock/bisbm-mat-Baldock2019_Bristol.pdf}
\caption{Bristol}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}[ht]{0.3\textwidth}
\includestandalone[width=1.1\textwidth]{tikz/applications/baldock/bisbm-mat-Baldock2019_Edinburgh}
\caption{Edinburgh}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}[ht]{0.3\textwidth}
\includestandalone[width=1.1\textwidth]{tikz/applications/baldock/bisbm-mat-Baldock2019_Leeds}
\caption{Leeds}
\end{subfigure}
\caption{Matrices d'adjacence réordonnées, grâce au LBM}
\label{fig:adj-reord}
\end{figure}
}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Différents modèles}
\onslide<1->{ \begin{block}{\emph{iid}-colBiSBM}
\[
\forall m \in \{1\dots M\}, Y^m \overset{iid}{\sim}
\mathcal{F}\text{-BiSBM}_{n_1^m,n_2^m}(Q_1, Q_2, \pi, \rho, \alpha)
\]
avec $\theta = (\pi, \rho, \alpha)$.
\end{block}}
\onslide<2>{ \begin{block}{$\pi\rho$-colBiSBM}
\[
\forall m \in \{1\dots M\}, Y^m \overset{ind}{\sim}
\mathcal{F}\text{-BiSBM}_{n_1^m,n_2^m}(Q_1, Q_2, \pi^m, \rho^m, \alpha)
\]
avec $\theta = ((\pi^m)_{m=1,\dots, M}, (\rho^m)_{m=1,\dots, M}, \alpha)$.
\end{block}
}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Estimation des paramètres}
% DONE dire que tau i q m c' est la proba que Zim = q, approximation de la proba variationnelle. Parce qu on impose lindependance
% Par maximisation d'une borne inférieure variationnelle de la
% log-vraisemblance des données observées.
Maximisation de la log-vraisemblance ?
\begin{block}{log-vraisemblance et log-vraisemblance complète}
\[
\ell(\bm{Y};\theta) = \sum_{\bm{Z,W}\in \bm{\mathcal{Z}\times\mathcal{W}}} \ell_c(\bm{Y}, \bm{Z}, \bm{W};\theta)
\]
avec $\bm{\mathcal{Z}} = \{1,\dots,\alert<2>{Q_1}\}^{\alert<2>{n}},
\bm{\mathcal{W}} = \{1,\dots,\alert<2>{Q_2}\}^{\alert<2>{n}}$
\end{block}
\uncover<3>{Donc, algorithme classique $\Rightarrow$
\emph{Expectation-Maximization} (EM).}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Par EM classique}
A l'itération $(t)$ :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]\textbf{Étape E}: calculer
$$ \mathcal{Q}(\theta | \theta^{(t-1)}) = \mathbb E_{\alert<2>{\bm Z, \bm W | \bm Y, \theta^{(t-1)}} } \left[\ell_c(\bm Y, \bm W, \bm Z; \theta) \right] $$
\item[$\bullet$]\textbf{Étape M}:
$$ \theta^{(t)} = \arg \max_{\theta} \mathcal{Q}(\theta | \theta^{(t-1)})$$
\end{itemize}
\uncover<2>{
\begin{alertblock}{Problème pour l'EM classique}
Loi de $\bm{Z,W|Y},\theta^{(t-1)}$ inaccessible
\end{alertblock}}
\end{frame}
\begin{frame}
Par \emph{Variational EM}, comme proposé
par~\cite{daudinMixtureModelRandom2008,
chabert-liddellLearningCommonStructures2024a}.
\begin{block}{Approximation variationnelle de $\bm{Z,W|Y},\theta^{(t-1)}$}
$\mathcal{R}_{Y^m,\tau}(\mathbf{Z}^m, \mathbf{W}^m) =
\mathcal{R}^1_{Y^m,\tau}(\mathbf{Z}^m)
{\color{red}\times}
\mathcal{R}^2_{Y^m,\tau}(\mathbf{W}^m) \Rightarrow$ indépendance lignes, colonnes.
\end{block}
\begin{multline*}
\ell (\bm{Y};\theta) \geq \color{red}\sum_{m=1}^{M} \bigg(
\color{black} \mathcal{Q}^m(\theta\mid\theta^{(t)}) +
\mathcal{H}(\mathcal{R}_{Y^m,\theta^{(t)}}
(\mathbf{Z}^m, \mathbf{W}^m))
\color{red}\bigg) \color{black}
\eqcolon \mathcal{J}(\tau;\theta)
\end{multline*}
où $\mathcal{Q}^m(\theta\mid\theta^{(t)}) =
\mathbb{E}_{\mathbf{Z}^m,\mathbf{W}^m
\sim \mathcal{R}_{Y^m,\tau}(.)}
\left[ \ell_c(Y^m,\mathbf{Z}^m,\mathbf{W}^m | \theta) \right] \,$
\end{frame}
\begin{frame}{Formule développée de l'EM variationnel}
\begin{multline*}
\ell (\bm{Y};\theta) \geq \color{red}\sum_{m=1}^{M} \bigg( \color{black} \sum_{i = 1}^{n_1^m}\sum_{j=1}^{n_2^m}\sum_{q \in \mathcal{Q}_{1,m}} \sum_{r \in \mathcal{Q}_{2,m}} \tau^{1,m}_{i,q} \tau^{2,m}_{j,r} \log f(Y^{m}_{ij}; \alpha_{qr}) \\
+ \sum_{i=1}^{n_1^m} \sum_{q \in \mathcal{Q}_{1,m}} \tau^{1,m}_{i,q} \log \pi_{\color{black}q}^{\color{gray}m} + \sum_{j=1}^{n_2^m} \sum_{r \in \mathcal{Q}_{2,m}} \tau^{2,m}_{j,r} \log \rho_{\color{black}r}^{\color{gray}m} \\
- \sum_{i=1}^{n_1} \tau^{1,m}_{i,q} \log \tau^{1,m}_{i,q} - \sum_{j=1}^{n_2} \tau^{2,m}_{j,r} \log \tau^{2,m}_{j,r} \color{red}\bigg) \color{black} \eqcolon
\mathcal{J}(\tau;\theta),
\end{multline*}
\begin{block}{Approximation variationnelle}
$\tau_{iq}^{1,m} = \mathcal{R}^1_{Y^m,\tau}(Z_{iq}^m = 1)$
et $\tau_{jr}^{2,m} = \mathcal{R}^2_{Y^m,\tau}(W_{jr}^m = 1)$
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{Étape \emph{Variational Expectation}}
\[
\widehat{\tau}^{(t+1)} = \arg \max_{\tau}
\mathcal{J}(\mathcal{\tau},\bm{\widehat{\theta}}^{(t)})
\Leftrightarrow \arg\min_{\tau\in\mathcal{T}} \mathbf{KL}[\mathcal{R}_{\mathbf{Y},\tau}, \mathbb{P}(.|\mathbf{Y})]
\]
\begin{equation*}
\begin{cases}
\widehat{\tau}_{iq}^{1,m} \propto \widehat{\pi}_{q}^{m(t)} \prod_{j=1}^{n_2^m}\prod_{r\in\mathcal{Q}_2^m} f(Y_{ij}^m;\widehat{\alpha}_{qr}^{(t)})^{\widehat{\tau}_{jr}^{2,m(t+1)}} & \forall i = 1, \dots , n_1^m, q \in \mathcal{Q}_1^m \\
\widehat{\tau}_{jr}^{2,m} \propto \widehat{\rho}_{r}^{m(t)} \prod_{i=1}^{n_1^m}\prod_{q\in\mathcal{Q}_1^m} f(Y_{ij}^m;\widehat{\alpha}_{qr}^{(t)})^{\widehat{\tau}_{iq}^{1,m(t+1)}} & \forall j = 1, \dots , n_2^m, r \in \mathcal{Q}_2^m
\end{cases}
\end{equation*}
\footnotetext[2]{Initialisation des $\widehat{\tau}$ avec un
\emph{spectral clustering} sur les réseaux.}
\end{frame}
\begin{frame}{Étape \emph{Maximization}}
\[
\widehat{\theta}^{(t+1)} = \arg \max_{\theta} \mathcal{J}(\mathcal{\bm{\widehat{\tau}}}^{(t+1)},\theta)
\]
\begin{block}{Paramètres de connectivité}
\begin{align*}
\widehat{\alpha}_{qr} = \frac{\sum_{m=1}^{M} \sum_{i=1}^{n_1^m} \sum_{j=1}^{n_2^m} \tau_{iq}^{1,m} \tau_{jr}^{2,m} \alert<2>{Y_{ij}^m}}{\sum_{m=1}^{M} \sum_{i=1}^{n_1^m} \sum_{j=1}^{n_2^m} \tau_{iq}^{1,m} \tau_{jr}^{2,m}}
\end{align*}
\end{block}
\only<1>{
\begin{block}{Proportions pour \emph{iid}}
\begin{align*}
\widehat{\pi}_q = \frac{\sum_{m=1}^{M} \sum_{i=1}^{n_1^m} \tau_{iq}^{1,m}}{\sum_{m=1}^{M} n_1^m} & &
\widehat{\rho}_r = \frac{\sum_{m=1}^{M} \sum_{j=1}^{n_2^m} \tau_{jr}^{2,m}}{\sum_{m=1}^{M} n_2^m}
\end{align*}
\end{block}
}
\only<2>{
\begin{block}{Proportions pour $\pi\rho$}
\begin{align*}
\widehat{\pi}^{\color{red}m}_q = \frac{\sum_{i=1}^{n_1^m} \tau_{iq}^{1,m}}{n_1^m} & &
\widehat{\rho}^{\color{red}m}_r = \frac{\sum_{j=1}^{n_2^m} \tau_{jr}^{2,m}}{n_2^m}
\end{align*}
\end{block}
}
\end{frame}
\section{Sélection de modèle}
\begin{frame}
\frametitle{Problème choix de $(Q_1, Q_2)$}
Besoin sélectionner $Q_1$ et $Q_2$. Critère BIC-Like\footnote{ICL + Entropie + pénalité}
\begin{align*}
\text{BIC-L}(\bm{Y}, Q_1, Q_2) & = \max_{\theta} \mathbb{E}_{\mathcal{R}_{\mathbf{Y},\hat{\tau}}} [\ell_c(\bm{Y,Z,W};\theta)] + \mathcal{H(\mathcal{R}_{\mathbf{Y},\hat{\tau}})} - \frac{1}{2}\text{pen}(\theta, Q_1, Q_2) \\
& = \max_{\theta} \mathcal{J(\mathcal{R}_{\mathbf{Y},\hat{\tau}}, \theta)} - \frac{1}{2}\text{pen}(\theta, Q_1, Q_2)
\end{align*}
\begin{alertblock}{Problèmes de l'exploration}
\begin{itemize}
\item Exploration de $\mathbb{N}^2$ coûteux.
\item Sensibilité initialisations.
\end{itemize}
\end{alertblock}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Choix de $(Q_1,Q_2)$ - Approche gloutonne}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\input{tikz/greedy-exploration.tex}
\end{tikzpicture}
\end{column}
\begin{column}{0.35\linewidth}
\begin{itemize}
\item Modèle initialisé~:\\
\begin{tikzpicture}
\draw[fill=gray, draw=gray] circle [radius=0.225cm];
\end{tikzpicture}
\onslide<2->{
\item Modèle après \emph{split}~:
\begin{tikzpicture}
\draw[fill=blueind, draw=blueind] circle [radius=0.225cm];
\end{tikzpicture}
\item Modèle maximisant le critère~:\\
\begin{tikzpicture}
\draw[fill=white, draw=green, very thick] circle [radius=0.225cm];
\end{tikzpicture}
}
\onslide<3->{
\item Modèle après \emph{merge}~:
\begin{tikzpicture}
\draw[fill=red, draw=red] circle [radius=0.225cm];
\end{tikzpicture}
}
\end{itemize}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Choix de $(Q_1,Q_2)$ - Fenêtre glissante}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\textwidth}
\begin{figure}
\input{tikz/moving-window}
\caption{Fenêtre glissante}
\end{figure}
\end{column}
\begin{column}{0.4\textwidth}
\only<3>{\begin{block}{}
Initialisation du modèle si nécessaire
\end{block}}
\only<9>{\begin{block}{}
Localisation du nouveau mode
\end{block}}
\only<10>{\begin{block}{}
Déplacement sur le nouveau mode puis itération
\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\section{Application}
\label{sec:application}
\begin{frame}
\frametitle{Résultats~\cite{baldockSystemsApproachReveals2019a}}
\only<1>{
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Bristol.pdf}
\caption{Bristol}
\end{subfigure}\hfil
\begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
\centering
\includestandalone[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Edinburgh}
\caption{Edinburgh}
\end{subfigure}
\newline
\begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
\centering
\includestandalone[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Leeds}
\caption{Leeds}
\end{subfigure}\hfil
\begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
\centering
\includestandalone[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Reading}
\caption{Reading}
\end{subfigure}
\caption{Matrices d'adjacence,~\cite{baldockSystemsApproachReveals2019a}}
\end{figure}
}
\only<2>{
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
\centering
\includestandalone[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Bristol}
\caption{Bristol}
\end{subfigure}\hfil
\begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
\centering
\includestandalone[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Edinburgh}
\caption{Edinburgh}
\end{subfigure}
\newline
\begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
\centering
\includestandalone[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Leeds}
\caption{Leeds}
\end{subfigure}\hfil
\begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
\centering
\includestandalone[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Reading}
\caption{Reading}
\end{subfigure}
\caption{Matrices d'adjacence réordonnée par \emph{iid}-colBiSBM,~\cite{baldockSystemsApproachReveals2019a}}
\end{figure}
}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Clustering de réseaux}
\begin{figure}[ht]
\includestandalone[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2011_TB+Baldock2011_JN}
\caption{Matrice d'adjacence,~\cite{baldockDailyTemporalStructure2011}}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Application à~\cite{baldockDailyTemporalStructure2011,
baldockSystemsApproachReveals2019a}}
\begin{figure}[t]
\centering
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[scale=0.2,angle=-90]{backup-app-iid.png}
\caption{Modèle $iid$}
\end{subfigure}%
~
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[scale=0.2,angle=-90]{backup-app-pirho.png}
\caption{Modèle $\pi\rho$}
\end{subfigure}%
\caption{Partitionnement des réseaux
de~\cite{baldockDailyTemporalStructure2011,
baldockSystemsApproachReveals2019a}}
\end{figure}
\begin{figure}[t]
\centering
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[scale=0.1]{backup-app-iid-struct1.png}
\includegraphics[scale=0.2]{backup-app-iid-struct2.png}
\caption{Modèle $iid$,\\
séparent réseau africain et réseaux anglais}
\end{subfigure}%
~
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[scale=0.2]{backup-app-pirho-struct.png}
\caption{Modèle $\pi\rho$,\\
fusionnent réseaux africain et anglais}
\end{subfigure}%
\caption{Structures détectées pour les réseaux
de~\cite{baldockDailyTemporalStructure2011,
baldockSystemsApproachReveals2019a}}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Algorithme du clustering}
\centering
\vspace{0.25\baselineskip}
\begin{tikzpicture}[scale=0.85]
\input{tikz/clustering.tex}
\end{tikzpicture}
\[
D_{\mathcal{M}}(m,m') = \sum_{q = 1}^{Q_1} \sum_{r = 1}^{Q_2} \max(\widetilde{\pi}_{q}^{m}, \widetilde{\pi}_{q}^{m'}) \left( \widetilde{\alpha}_{qr}^{m} - \widetilde{\alpha}_{qr}^{m'}\right)^{2} \max(\widetilde{\rho}_{r}^{m}, \widetilde{\rho}_{r}^{m'})
\]
\end{frame}
\begin{frame}{Résultats}
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\includestandalone[width=1\textwidth]{tikz/applications/baldock/bisbm-mat-Baldock2011_TB+Baldock2011_JN}
\caption{Réordonnée par LBM}
\end{subfigure}\hfil
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\includestandalone[width=1\textwidth]{tikz/applications/baldock/pirho-colbisbm-mat-Baldock2011_TB+Baldock2011_JN}
\caption{Réordonnée par $\pi\rho$-colBiSBM}
\end{subfigure}
\caption{Matrice d'adjacence réordonnée par $\pi\rho$-colBiSBM,~\cite{baldockDailyTemporalStructure2011}}
\end{figure}
\end{frame}
\section{Conclusion}
\label{sec:conclusion}
\begin{frame}
\frametitle{Conclusion et perspectives}
% DONE Ajouter une slide conclusion perspective
% Rappeler les modeles avec clustering
% Evoquer l'analyse de reseaux corrigés pour l'échantillonnage
% Lien vers le package
\begin{block}{Capacités}
\begin{itemize}
\item 4 modèles dont 3 qui ont une flexibilité sur au moins une des
dimensions (adaptabilité aux données).
\item Détecter structures classiques et moins classique de façon agnostique.
\item Partitionner un ensemble de réseaux selon leurs structures.
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{Perspectives}
\begin{itemize}
\item Investiguer stabilité face à l'aléatoire et aux \emph{optima} locaux.
\item Preuve d'identifiabilité du modèle $\pi\rho$.
\end{itemize}
\begin{block}{Package et applications}
\begin{itemize}
\item Intégration au package \texttt{colSBM}, amélioration interface utilisateur et
ajout retours écologues
\item Publication CRAN
\item Intégrer possibilité d'un critère supplémentaire pour le clustering
\item Appliquer clustering données de
\cite{pichonTellingMutualisticAntagonistic2024,doreRelativeEffectsAnthropogenic2021}
\end{itemize}
\end{block}
\bigskip
\centering
Merci pour votre attention~!
\end{frame}

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\documentclass{beamer}
\usetheme{Boadilla}
% importations
\usepackage[french]{babel} % pour dire que le texte est en francais
\usepackage{csquotes}
\usepackage[T1]{fontenc} % pour les font postscript
\usepackage[cyr]{aeguill} % Police vectorielle TrueType, guillemets francais
\usepackage{epsfig} % pour gérer les images
\usepackage{amsmath,amsthm, stmaryrd, mathtools} % très bon mode mathématique
\usepackage{amsfonts,amssymb,bm, bbold}% permet la definition des ensembles
\usepackage{algorithm2e} % pour les algorithmes
\usepackage{algpseudocode} % pour les algorithmes
\usepackage{graphicx}
\usepackage{subcaption}
\usepackage{float} % pour le placement des figure
\usepackage{url} % pour une gestion efficace des url
\usepackage{hyperref} % pour les hyperliens dans le document
\usepackage[mode=buildnew]{standalone}
\usepackage{appendixnumberbeamer} % Cacher la numérotation des slides d'appendices
\usepackage{beamerappendixnote}
\usepackage{adjustbox} % To resize tikzpictures
\usepackage{fontawesome5}
\usepackage{makecell}
% Images
\graphicspath{{./img/}{./figure/}}
% Tikz
\usepackage{tikz} % For graph plots
\usepackage[outline]{contour}
%% Tikz Related
\usetikzlibrary{calc,shapes,backgrounds,arrows,automata,shadows,positioning}
\usetikzlibrary{arrows,shapes,positioning,shadows,trees,calc,backgrounds,automata,positioning}
\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing,calligraphy,external,petri}
%% Tikz sets
\tikzset{
basic/.style = {draw, text width=3cm, font=\sffamily, rectangle},
root/.style = {basic, rounded corners=2pt, thin, align=center,
fill=green!30},
level 2/.style = {basic, rounded corners=6pt, thin,align=center, fill=green!60,
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}
% Couleurs
% pour tickz multilevel
\usepackage{xcolor}
\definecolor{aoenglish}{rgb}{0.0, 0.5, 0.0}
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\definecolor{orangeorg}{RGB}{253, 174, 97}
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%% Couleur Paris-Saclay
\definecolor{pruneps}{RGB}{99,0,60}
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%% Biblio
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% Footnote
\makeatletter
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% Beamer
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\subtitle{Présentation LSD}
\title[Collections de réseaux bipartites]{Analyse jointe de collections de
réseaux bipartites}
\author[L. Lacoste]{Louis \textsc{Lacoste}, encadré par Pierre Barbillon et
Sophie Donnet\newline Laboratoire MIA Paris-Saclay} % Sous la supervision de Pierre
\date{}
\begin{document}
% titre
\begin{frame}[noframenumbering,plain]
\maketitle
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\include{principal}
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\frametitle{Bibliographie}
\printbibliography
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\appendix
\begin{refsection}
\include{annexe}
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\section{Références annexes}
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\frametitle{Bibliographie des annexes}
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