## 1 TODO List

- Petites opérations sur les OTUs (regarder la matrice dans les yeux):
  - Ranger les OTUs par variances (i.e. `sd(OTU_j)`)
    - HMC sur-dispersés (au-dessus bissectrice)
    - Enterotype phyloseq sous-disp
  - Regarder la proportion de 1. taxon rares, 2. zeros.
  - Faire des coupures selon niveaux taxonomiques et regarder si \mathbb{V}_{\text{intra}} \approx \mathbb{V}_{\text{inter}}
  - Bonus: faire ça dans qmd et voir si forge permet gitlab pages
- ✅ Avec blockmodels, codé un LBM-Séquentiel. Des différences contrastées…
  - TODO Ajouter lien vers notebooks résultats
- Relire Peixoto (2014)
  - Regarder les gens qui citent les travaux de Peixoto
- ⌛ En cours Implémentation `blockmodels` LBM avec covariables sur proportions (voir Équation 1)

Idées

- Travailler sur Fungus Tree network
- ⌛Demander à PB et SD, ils regardent : Comparaison covar prop avec GREMLINS multipartite sur (log(dist_phylo), fungus-tree)
- Trouver manière de faire un compromis : \ell(Y,Z,W;\theta) - \lambda d(C(W),C_0) avec C(W) le clustering seulement sur la base de la structure LBM et C_0 le clustering de l’arbre. Problème d est une distance entre partition, comment optimiser dessus ?
- ⌛ Mise à jour partielle des \tau : ce qui pose soucis c’est les gros calculs matriciels (c’est vraiment vrai?). Donc sorte de “stochastic” VEM où on update seulement une partie des \tau à chaque itération. Et échantillonnage stratifié selon l’arbre ?
  - ⌛ Simulations avec n_2 croissant lancée sur Migale
  - Réimplementé VE Bernoulli dans colSBM pour Bipartite et début implémentation Stochastic VE. En fait le problème des calculs matriciels Y\times(\tau^{(1)})^{\top} (n_2^2) donc besoin de sous-échantillonner les noeuds de l’autre dimension à mettre à jour.

- Clustering unipartite j’ai cassé une fonction de distance à vérifier et réparer

- Codes pour le papier :

  - Nettoyer les scripts
  - Faire un joli README
  - ❓Faire des notebooks

- Réussir à reproduire résultat de Abramov et al. (s. d.)

- Maitriser graphtools de Peixoto pour essayer d’utiliser l’arbre taxonomique sur graphe de cooccurence inférer par SparCC

- Maitriser SparCC

- 👶 (délégué à Mona) Clustering sur Doré :

  - Ajouter Chao1 et 2, colonne par colonne (site par site), et faire indice moyen et la variance.

### 1.1 Inférence et microbes

- ✅ En préparation d’un fichier (réu avec JBL à 10h45 le 06/02/2026). Possible en modifiant lbm.h et sbm.h d’obtenir un modèle utilisant les covariables de groupes (de blocs ?). Car besoin de changer `membership.m_step()` pour mettre à jour \pmb\pi et \pmb{\rho} en utilisant les \pmb B^{\top}\pmb X et en renvoyant l’ELBO adaptée.

  - 😄 Avantage s’inscrit directement dans blockmodels et permet d’avoir toutes les lois d’émissions déjà codées et compatibles !

  - 😢 Besoin de réfléchir a une bonne implémentation.

#### 1.1.1 Modèle avec covariables sur probas d’appartenances aux groupes

\begin{align*} \pmb{\beta}_{r}& = \begin{pmatrix} \beta_{r,0}\\ \vdots\\ \beta_{r,p} \end{pmatrix}, & X_{j,\bullet} = \begin{pmatrix} 1 = x_{0,j} & x_{1,j} & \dots & x_{p,j} \end{pmatrix}\\ X_{j,\bullet} \pmb{\beta}_r& = \beta_{r,0} x_{0,j} + \beta_{r,1} x_{1,j} + \dots + \beta_{r,p} x_{p,j} & \approx \log(\rho_r^j) \\ B & = \begin{pmatrix} \pmb{\beta}_1 \dots \pmb{\beta}_r \dots \pmb{\beta}_R \end{pmatrix} & X_{j,\bullet}B \approx \log(\pmb{\rho}^j) \\ X B & \approx \log((\pmb{\rho}^j)_{j=1,\dots,n_2}) = \log(\pmb{\Rho})\\ \end{align*} Et pour les probas en lignes du LBM \begin{align*} \pmb{\gamma}_{q}& = \begin{pmatrix} \gamma_{q,0}\\ \vdots\\ \gamma_{q,d} \end{pmatrix}, & V_{i,\bullet} = \begin{pmatrix} 1 = v_{0,i} & v_{1,i} & \dots & v_{d,i} \end{pmatrix}\\ V_{i,\bullet} \pmb{\gamma}_q & = \gamma_{q,0} v_{0,i} + \gamma_{q,1} v_{1,i} + \dots + \gamma_{q,d} v_{d,i} & \approx \log(\pi_q^i) \\ \Gamma & = \begin{pmatrix} \gamma_1 \dots \pmb{\gamma}_q \dots \pmb{\gamma}_Q \end{pmatrix} & V_{i,\bullet} \Gamma \approx \log(\pmb{\pi}^i) \\ V \Gamma & \approx \log((\pmb{\pi}^i)_{i=1,\dots,n_1}) = \log(\pmb{\Pi}) \end{align*}

#### 1.1.2 Preuve sur l’identifiabilité

Soient B,B^{\prime} avec B_{\bullet,R} = B^{\prime}_{\bullet,R} = \vec{0}_{p+1} et X de rang plein tel que X^{\top}X soit inversible.

\begin{align*} &\sigma(XB) = \sigma(XB^{\prime})\\ &\implies \exists C = \begin{pmatrix}c_1 \\ \vdots \\ c_j \\ \vdots \\ c_{n_2}\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n_2}, X B = X B^{\prime} + C \pmb{1}_{R}^{\top} \\ &\implies \exists C \in \mathbb{R}^{n_2}, (X B)_{j,r} = (X B^{\prime})_{j,r} + (C \pmb{1}_{R}^{\top})_{j,r} \\ &\implies \exists C \in \mathbb{R}^{n_2}, \forall r\in\{1\dots,R\}, \forall j\in\{1,\dots,n_2\}, \sum_{k=1}^{p+1} x_{j,k} \beta_{k,r} = \sum_{k=1}^{p+1} x_{j,k} \beta^{\prime}_{k,r} + c_j\\ &\implies \exists C \in \mathbb{R}^{n_2}, \forall j\in\{1,\dots,n_2\}, \sum_{k=1}^{p+1} x_{j,k} \beta_{k,R} = \sum_{k=1}^{p+1} x_{j,k} \beta^{\prime}_{k,R} + c_j \\ &\implies \exists C \in \mathbb{R}^{n_2}, \forall j\in\{1,\dots,n_2\}, \sum_{k=1}^{p+1} x_{j,k} \times 0 = \sum_{k=1}^{p+1} x_{j,k} \times 0 + c_j \\ &\implies \exists C \in \mathbb{R}^{n_2}, \forall j\in\{1,\dots,n_2\}, 0 = 0 + c_j \implies c_j = 0 \\ &\implies C = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \text{and thus}, XB = XB^{\prime} \\ & \implies (X^{\top} X)^{-1}X^{\top} X B = (X^{\top} X)^{-1}X^{\top} X B^{\prime} \implies B=B^{\prime} \end{align*}

#### 1.1.3 Description du modèle hiérarchique

Toujours modèle LBM mais avec probas d’appartenance pour les colonnes variables:

\begin{align*} Z_i &\sim \mathcal{M}(1; \pi_1, \dots, \pi_Q), \sum_{q=1}^{Q} \pi_q = 1\\ W_j &\sim \mathcal{M}(1; \rho_1^j, \dots, \rho_R^j), \sum_{r=1}^{R} \rho_r^j = 1\\ Y_{i,j}&\mid Z_i = q, W_j = r \sim \mathcal{F}(\alpha_{qr}) \end{align*}

Inférence variationnelle donc \ell(Y;\pmb{\theta}) \geq \mathcal{J}(\mathcal{R},\pmb{\theta}) avec

\mathcal{J}(\mathcal{R},\pmb{\theta})= \sum_{i = 1}^{n_1}\sum_{j=1}^{n_2}\sum_{q \in \mathcal{Q}_1} \sum_{r \in \mathcal{Q}_2} \tau_{iq}^{1} \tau_{jr}^{2} \log f(Y_{ij}; \alpha_{qr}) + \sum_{i=1}^{n_1} \sum_{q \in \mathcal{Q}_1} \tau_{iq}^{1} \log \pi_{\color{black}q} + \sum_{j=1}^{n_2} \sum_{r \in \mathcal{Q}_2} \tau_{jr}^{2} \log \rho_{\color{black}r} \\ - \sum_{i=1}^{n_1} \tau_{iq}^{1} \log \tau_{iq}^{1} - \sum_{j=1}^{n_2} \tau_{jr}^{2} \log \tau_{jr}^{2}

##### 1.1.3.1 Modèle Sophie

Avec \rho_r^j = \frac{\exp{\beta_r X_j}}{\sum_{s=1}^{R} \exp{\beta_s X_j}} = \sigma(\pmb{\beta} \pmb{X})_{r,j}, où \sigma désigne le softmax. Mais il y a besoin de poser une contrainte sur l’un des (\beta_r)_{r=1,\dots,R}, ici \beta_R = 0.

La partie pertinente de l’ELBO devient: P((\beta_r)_{r=1,\dots,R}, (X_j)_{j=1,\dots,n_2}, (\tau_{jr})_{\substack{j=1,\dots,n_2\\r=1,\dots,R}} ) = \sum_{j=1}^{n_2} \sum_{r=1}^{R} [\tau_{jr} (\beta_r X_j - \log (\sum_{s=1}^{R} \exp{\beta_s X_j}))] \tag{1}

Et on obtient la dérivée partielle par rapport à \beta_t comme: \begin{align*} \dfrac{\partial P}{\partial \beta_t}&((\beta_r)_{r=1,\dots,R}, (X_j)_{j=1,\dots,n_2}, (\tau_{jr})_{\substack{j=1,\dots,n_2\\r=1,\dots,R}} ) = \sum_{j=1}^{n_2} \biggl[ \tau_{jt} X_j - \frac{X_j \exp{\beta_t X_j}}{\sum_{s=1}^{R} \exp{\beta_s X_j}} \biggr]\\ & = \sum_{j=1}^{n_2} \biggl[\bigl(\tau_{jt} - \sigma(\pmb{\beta} \pmb{X})_{t,j}\bigr) X_j\biggr] = \sum_{j=1}^{n_2} \biggl[\bigl(\tau_{jt} - \rho_t^j \bigr) X_j\biggr] \end{align*}

#### 1.1.4 Bibliographie: à lire, à faire

- Lire article multi-niveaux Saint-Clair
- 🆕 🔎 Trouver des papiers:
  - LBM Negative Binomial
  - Network inference through sample comparison
- Idée des groupes sur la base de distance phylogénétique:
  - En train de comprendre les distances que phyloseq permet de calculer sur notre exemple
  - En train de lire sur Principle coordinate analysis : https://openplantpathology.github.io/OPP_Workshop_Multivariate/2-MV_PCO.html
  - Parametric t-SNE pour avoir une unique représentation latente (inconvénient utilise du Deep Learning)
  - Lire Papier UniFrac

#### 1.1.5 Réflexion

- easy16s : se renseigner sur
  - \alpha, \beta diversité
  - Heatmap
- Regarder SPARTA Rennes
- Ecrire et étudier les modèles pour différents niveaux taxonomiques.
- 🆕 Regarder NetComi
- 🆕 Regarder OneNet car aggrégation plus robuste
- 🆕 Réfléchir sens d’aggréger les données ou de les diviser

#### 1.1.6 Écrire et faire tourner

- Lancer colBiSBM sur OTU\times Sample → problème du chargement en mémoire des données à voir
- Lancer colSBM sur OTU\times OTU
- TabNet pratiquer les exercices
- 🆕 SparCC à différent niveaux
- 🆕 SBM à différent niveaux
- 🆕⌛ Tree-PLN à différents niveaux

#### 1.1.7 Causalité

Plus sur le temps long, à regarder

- GT causalité
- Daria Bystrova lire présentation Bystrova (s. d.) (Meek rules, V-structure)

## 2 A discuter

- 🆕 Voir pour des Réseaux / GDR ou aller
- 🆕 Chercher des cours à suivre

## 3 Biblio à faire

- Regarder Transport optimal graphes bipartite.

## 4 Lectures en cours 📚

### 4.1 HDR Vincent Brault

- ⌛ Chap 2 : Creuser l’idée de maximiser l’énergie libre, très intéressant regarder le critère CARI et lire Robert et al 2021. Actuellement p32 du manuscrit
- Chap 3

### 4.2 OT

- ⌛ Mazelet, Flamary, et Thirion (s. d.) Intéressant pour le transport optimal entre graphes de tailles différentes | Regarder si regularization entropique ne marche pas bien pour le graphe.
- ⌛ Nenna (s. d.b) Pour comprendre le problème d’OT régularisé pour l’entropie.
- ⌛ Nenna (s. d.a)

### 4.3 Inférence de graphes

- ⌛ Aitchison (1982), en cours

- ❗📖 Payne et al. (2023) sur MixMPLN

### 4.4 Causalité

- ❗📖 Bystrova (s. d.)

### 4.5 Largest Gaps

- ❗📖 Brault et Channarond (2023)
- ❗📖 Channarond, Daudin, et Robin (2012) le papier qui introduit le Largest Gaps

## Les références

Abramov, Kesem, Barry Biton, Geut Galai, Rami Puzis, et Shai Pilosof. s. d. « Structure Knows Best: Predicting Ecological Interactions Across Space Through Pairwise Integration of Latent Network Patterns ».
Aitchison, J. 1982. « The Statistical Analysis of Compositional Data ». Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological) 44 (2): 139‑77. https://www.jstor.org/stable/2345821.
Brault, Vincent, et Antoine Channarond. 2023. « Fast and Consistent Algorithm for the Latent Block Model ». 9 mars 2023. https://doi.org/10.48550/arXiv.1610.09005.
Bystrova, Daria. s. d. « Causal Discovery ».
Channarond, Antoine, Jean-Jacques Daudin, et Stéphane Robin. 2012. « Classification and Estimation in the Stochastic Blockmodel Based on the Empirical Degrees ». Electronic Journal of Statistics 6 (janvier). https://doi.org/10.1214/12-ejs753.
Mazelet, Sonia, Rémi Flamary, et Bertrand Thirion. s. d. « Unsupervised Learning for Optimal Transport Plan Prediction Between Unbalanced Graphs ».
Nenna, Luca. s. d.a. « Lecture 1 Monge and Kantorovich Problems: From Primal to Dual ».
———. s. d.b. « Lecture 2: Entropic Optimal Transport ».
Payne, Andrea, Anjali Silva, Steven J. Rothstein, Paul D. McNicholas, et Sanjeena Subedi. 2023. « Finite Mixtures of Multivariate Poisson-Log Normal Factor Analyzers for Clustering Count Data ». 13 novembre 2023. https://doi.org/10.48550/arXiv.2311.07762.
Peixoto, Tiago P. 2014. « Hierarchical Block Structures and High-Resolution Model Selection in Large Networks ». Physical Review X 4 (1): 011047. https://doi.org/10.1103/PhysRevX.4.011047.