# Bilan semaine 50 2025 : 08 décembre - 12 décembre – Suivi de la thèse
Author: Louis Lacoste

## TODO List

- ⚠️ IL Y A UNE TYPO SUR LE SIGNE DE L’ENTROPIE POUR LE PAPIER: - \mathcal{H} au lieu de +\mathcal{H}

- Codes pour le papier :

  - Nettoyer les scripts
  - Faire un joli README
  - ❓Faire des notebooks

- Faire tourner clustering sur Trojelsgaard

- Réussir à reproduire résultat de Abramov et al. (s. d.)

- Maitriser graphtools de Peixoto pour essayer d’utiliser l’arbre taxonomique sur graphe de cooccurence inférer par SparCC

- Maitriser SparCC

- Faire LBM sur niveau taxonomique grossier, initialiser avec le résultat pour un niveau plus fin et ainsi de suite.

- Clustering unipartite j’ai cassé une fonction de distance à vérifier et réparer

- Pour clustering de collections sur données réelles :
  → L’intuition de Pierre semble être confirmé, les dissimilarités semblent arrêter de varier sensiblement pour de grandes valeurs (Q_1,Q_2).

- 👶 (délégué à Mona) Clustering sur Doré :

  - Regarder pour les couples date+nom les études et le nombre de réseaux analysables (Possible demander à Élisa)

    - ⌛ Chamberlain et al semble intéressant à regarder ! Voir le Rmarkdown

  - Clusteriser sur la base des noms et voir parmi les réseaux Européens (désagrégés ?)

  - Si M > 10, alors voir si je retrouve les mêmes résultats que dans les études.

  - Regarder Largest gap sur réseaux Doré

  - ⌛ Essayer clustering sur `supinfo`

    - CAH et Kmeans tendent vers faire K = 13 clusters sur les supinfos
    - Enrichir avec des métriques sur les réseaux (nestedness, connectance autres ?)
    - Demander à Elisa pour la signification des métadonnées
    - Demander à Elisa une fois vu cohérences de groupe voir pour interprétation écologiques ?
    - Algo de clustering sur les groupes trouvés

### Inférence et microbes

#### Modèle avec covariables sur probas d’appartenances aux groupes

Toujours modèle LBM mais avec probas d’appartenance pour les colonnes variables:

\begin{align*} Z_i &\sim \mathcal{M}(1; \pi_1, \dots, \pi_Q), \sum_{q=1}^{Q} \pi_q = 1\\ W_j &\sim \mathcal{M}(1; \rho_1^j, \dots, \rho_R^j), \sum_{r=1}^{R} \rho_r^j = 1\\ Y_{i,j}&\mid Z_i = q, W_j = r \sim \mathcal{F}(\alpha_{qr}) \end{align*}

Inférence variationnelle donc \ell(Y;\pmb{\theta}) \geq \mathcal{J}(\mathcal{R},\pmb{\theta}) avec

\mathcal{J}(\mathcal{R},\pmb{\theta})= \sum_{i = 1}^{n_1}\sum_{j=1}^{n_2}\sum_{q \in \mathcal{Q}_1} \sum_{r \in \mathcal{Q}_2} \tau_{iq}^{1} \tau_{jr}^{2} \log f(Y_{ij}; \alpha_{qr}) + \sum_{i=1}^{n_1} \sum_{q \in \mathcal{Q}_1} \tau_{iq}^{1} \log \pi_{\color{black}q} + \sum_{j=1}^{n_2} \sum_{r \in \mathcal{Q}_2} \tau_{jr}^{2} \log \rho_{\color{black}r} \\ - \sum_{i=1}^{n_1} \tau_{iq}^{1} \log \tau_{iq}^{1} - \sum_{j=1}^{n_2} \tau_{jr}^{2} \log \tau_{jr}^{2}

Plusieurs possibilités pour la définition de \rho_r^j

##### Modèle 1 (Tabouy)

\rho_r^j = \frac{\exp{\beta_r X_j\mathbf{1}_{\{r\neq R\}}}}{1+\sum_{s=1}^{R-1} \beta_s X_j}, \beta_R = 0 et \rho_R^{j} = \frac{1}{1+\sum_{s=1}^{R-1} \beta_s X_j} (pas de compréhension intuitive)

La partie pertinente de l’ELBO devient: P((\beta_r)_{r=1,\dots,R}, (X_j)_{j=1,\dots,n_2}, (\tau_{jr})_{\substack{j=1,\dots,n_2\\r=1,\dots,R}} ) = \sum_{j=1}^{n_2} \sum_{r=1}^{R} [\tau_{jr} (\beta_r X_j \mathbb{1}_{r\neq R} - \log (1+\sum_{s=1}^{R-1} \beta_s X_j))]

Et on obtient la dérivée partielle par rapport à \beta_t comme: \begin{align*} \dfrac{\partial P}{\partial \beta_t}&((\beta_r)_{r=1,\dots,R}, (X_j)_{j=1,\dots,n_2}, (\tau_{jr})_{\substack{j=1,\dots,n_2\\r=1,\dots,R}} ) = \sum_{j=1}^{n_2} \biggl[ \tau_{jt} X_j - \frac{X_j}{1+\sum_{s=1}^{R-1} \exp{\beta_s X_j}} \biggr]\\ & = \sum_{j=1}^{n_2} \biggl[\bigl(\tau_{jt} - \frac{1}{1+\sum_{s=1}^{R-1} \beta_s X_j} \bigr) X_j\biggr] = \sum_{j=1}^{n_2} \biggl[\bigl(\tau_{jt} - \rho_R^j \bigr) X_j\biggr] \end{align*}

❓ Gradient mesure l’écart entre probas a posteriori et la proba a priori du groupe de référence ?

##### Modèle Sophie

Avec \rho_r^j = \frac{\exp{\beta_r X_j}}{\sum_{s=1}^{R} \exp{\beta_s X_j}} = \sigma(\pmb{\beta} \pmb{X})_{r,j}, où \sigma désigne le softmax.

La partie pertinente de l’ELBO devient: P((\beta_r)_{r=1,\dots,R}, (X_j)_{j=1,\dots,n_2}, (\tau_{jr})_{\substack{j=1,\dots,n_2\\r=1,\dots,R}} ) = \sum_{j=1}^{n_2} \sum_{r=1}^{R} [\tau_{jr} (\beta_r X_j - \log (\sum_{s=1}^{R} \exp{\beta_s X_j}))]

Et on obtient la dérivée partielle par rapport à \beta_t comme: \begin{align*} \dfrac{\partial P}{\partial \beta_t}&((\beta_r)_{r=1,\dots,R}, (X_j)_{j=1,\dots,n_2}, (\tau_{jr})_{\substack{j=1,\dots,n_2\\r=1,\dots,R}} ) = \sum_{j=1}^{n_2} \biggl[ \tau_{jt} X_j - \frac{X_j \exp{\beta_t X_j}}{\sum_{s=1}^{R} \exp{\beta_s X_j}} \biggr]\\ & = \sum_{j=1}^{n_2} \biggl[\bigl(\tau_{jt} - \sigma(\pmb{\beta} \pmb{X})_{t,j}\bigr) X_j\biggr] = \sum_{j=1}^{n_2} \biggl[\bigl(\tau_{jt} - \rho_r^j \bigr) X_j\biggr] \end{align*}

#### Bibliographie: à lire, à faire

- Lire article multi-niveaux Saint-Clair
- 🆕 🔎 Trouver des papiers:
  - LBM Negative Binomial
  - Network inference through sample comparison
- Idée des groupes sur la base de distance phylogénétique:
  - En train de comprendre les distances que phyloseq permet de calculer sur notre exemple
  - En train de lire sur Principle coordinate analysis : https://openplantpathology.github.io/OPP_Workshop_Multivariate/2-MV_PCO.html
  - Parametric t-SNE pour avoir une unique représentation latente (inconvénient utilise du Deep Learning)
  - Lire Papier UniFrac

#### Réflexion

- easy16s : se renseigner sur
  - \alpha, \beta diversité
  - Heatmap
- Regarder SPARTA Rennes
- Ecrire et étudier les modèles pour différents niveaux taxonomiques.
- 🆕 Regarder NetComi
- 🆕 Regarder OneNet car aggrégation plus robuste
- 🆕 Réfléchir sens d’aggréger les données ou de les diviser

#### Écrire et faire tourner

- Lancer colBiSBM sur OTU\times Sample → problème du chargement en mémoire des données à voir
- Lancer colSBM sur OTU\times OTU
- TabNet pratiquer les exercices
- 🆕 SparCC à différent niveaux
- 🆕 SBM à différent niveaux
- 🆕⌛ Tree-PLN à différents niveaux

#### Causalité

Plus sur le temps long, à regarder

- GT causalité
- Daria Bystrova lire présentation Bystrova (s. d.) (Meek rules, V-structure)

## A discuter

- 🆕 Voir pour des Réseaux / GDR ou aller
- 🆕 Chercher des cours à suivre

## Biblio à faire

- Regarder Transport optimal graphes bipartite.

## Lectures en cours 📚

### HDR Vincent Brault

- ⌛ Chap 2 : Creuser l’idée de maximiser l’énergie libre, très intéressant regarder le critère CARI et lire Robert et al 2021. Actuellement p32 du manuscrit
- Chap 3

### OT

- ⌛ Mazelet, Flamary, et Thirion (s. d.) Intéressant pour le transport optimal entre graphes de tailles différentes | Regarder si regularization entropique ne marche pas bien pour le graphe.
- ⌛ Nenna (s. d.b) Pour comprendre le problème d’OT régularisé pour l’entropie.
- ⌛ Nenna (s. d.a)

### Inférence de graphes

- ⌛ Aitchison (1982), en cours

- ❗📖 Payne et al. (2023) sur MixMPLN

### Causalité

- ❗📖 Bystrova (s. d.)

### Largest Gaps

- ❗📖 Brault et Channarond (2023)
- ❗📖 Channarond, Daudin, et Robin (2012) le papier qui introduit le Largest Gaps

## Les références

Abramov, Kesem, Barry Biton, Geut Galai, Rami Puzis, et Shai Pilosof. s. d. « Structure Knows Best: Predicting Ecological Interactions Across Space Through Pairwise Integration of Latent Network Patterns ».
Aitchison, J. 1982. « The Statistical Analysis of Compositional Data ». Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological) 44 (2): 139‑77. https://www.jstor.org/stable/2345821.
Brault, Vincent, et Antoine Channarond. 2023. « Fast and Consistent Algorithm for the Latent Block Model ». 9 mars 2023. https://doi.org/10.48550/arXiv.1610.09005.
Bystrova, Daria. s. d. « Causal Discovery ».
Channarond, Antoine, Jean-Jacques Daudin, et Stéphane Robin. 2012. « Classification and Estimation in the Stochastic Blockmodel Based on the Empirical Degrees ». Electronic Journal of Statistics 6 (janvier). https://doi.org/10.1214/12-ejs753.
Mazelet, Sonia, Rémi Flamary, et Bertrand Thirion. s. d. « Unsupervised Learning for Optimal Transport Plan Prediction Between Unbalanced Graphs ».
Nenna, Luca. s. d.a. « Lecture 1 Monge and Kantorovich Problems: From Primal to Dual ».
———. s. d.b. « Lecture 2: Entropic Optimal Transport ».
Payne, Andrea, Anjali Silva, Steven J. Rothstein, Paul D. McNicholas, et Sanjeena Subedi. 2023. « Finite Mixtures of Multivariate Poisson-Log Normal Factor Analyzers for Clustering Count Data ». 13 novembre 2023. https://doi.org/10.48550/arXiv.2311.07762.