Identifiability final

suivi/2026-7/2026-7.qmd

@@ -100,7 +100,7 @@ V \Gamma & \approx \log((\pmb{\pi}^i)_{i=1,\dots,n_1}) = \log(\pmb{\Pi})
 \end{align*}
 
 #### Note sur l'identifiabilité (à partir JBL et réunion JA, PB, SD)
-Soient $B,B^{\prime}$ avec $B_{\bullet,R} = B^{\prime}_{\bullet,R} = \vec{0}_{p+1}$ et $X$ de rang plein tel que $X^{\top}X$ soit inversible.
+Soient $B,B^{\prime}$ avec $B_{\bullet,R} = B^{\prime}_{\bullet,R} = \vec{0}_{p+1}$ ~~et $X$ de rang plein tel que $X^{\top}X$ soit inversible~~ pas nécessaire.
 
 \begin{align*}
 &\sigma(XB) = \sigma(XB^{\prime})\\
@@ -114,22 +114,6 @@ Soient $B,B^{\prime}$ avec $B_{\bullet,R} = B^{\prime}_{\bullet,R} = \vec{0}_{p+
 
 \end{align*}
 
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-Soient $X : (p+1, n_2), B : (p+1, R)$ avec $X$ de plein rang, i.e., $rg(X) = p+1\implies XX^{\top}$ est inversible.
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-On veut qu'il existe $B^{\prime}$ et $B$ avec $B_{:,R} = \vec 0_p$, par les propriétés de la fonction softmax, $\sigma(.)$ :
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-\begin{align*}
-& \sigma(B^{\top}X) = \sigma({B^{\prime}}^{\top}X)\\
-& \iff \exists C \in \mathbb{R}^{n_2}, B^{\top} X = {B^{\prime}}^{\top} X + \pmb{1}_R C^{\top}\\
-& \iff \exists C \in \mathbb{R}^{n_2}, B^{\top} X - \pmb{1}_R C^{\top} = {B^{\prime}}^{\top} X\\
-& \iff \exists C \in \mathbb{R}^{n_2}, (B^{\top} X - \pmb{1}_R C^{\top}) X^{\top} = {B^{\prime}}^{\top} X X^{\top}\\
-& \iff \exists C \in \mathbb{R}^{n_2}, (B^{\top} X - \pmb{1}_R C^{\top}) X^{\top}(X X^{\top})^{-1} = {B^{\prime}}^{\top}\\
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-\end{align*}
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 #### Description du modèle hiérarchique
 
 Toujours modèle LBM mais avec probas d'appartenance pour les colonnes variables: