Détails identif SBM covar groupe

suivi/2026-6/2026-6.qmd

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 ### Inférence et microbes
 
-- ⌛ En préparation d'un fichier (réu avec JBL à 10h45 le 06/02/2026).
+- ✅ En préparation d'un fichier (réu avec JBL à 10h45 le 06/02/2026).
+Possible en modifiant lbm.h et sbm.h d'obtenir un modèle utilisant les covariables de groupes (de blocs ?).
+Car besoin de changer `membership.m_step()` pour mettre à jour $\pmb\pi$ et $\pmb{\rho}$ en utilisant les $\pmb B^{\top}\pmb X$
+et en renvoyant l'ELBO adaptée.
+    - 😄 Avantage s'inscrit directement dans blockmodels et permet d'avoir toutes les lois d'émissions déjà codées et compatibles !
+
+    - 😢 Besoin de réfléchir a une bonne implémentation.
 
 #### Modèle avec covariables sur probas d'appartenances aux groupes
 
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     \beta_{r,0}\\
     \vdots\\
     \beta_{r,p}
-\end{pmatrix}, & X_j = \begin{pmatrix}
+\end{pmatrix}, & X_{:,j} = \begin{pmatrix}
     1\\
     x_{1}\\
     \vdots\\
     x_p
 \end{pmatrix}\\
-\pmb{\beta}_r^{\top}X_j& = \beta_{r,0} + \beta_{r,1} x_{1} + \dots + \beta_{r,p} x_p & \approx \log(\rho_r^j) \\
+\pmb{\beta}_r^{\top} X_{:,j}& = \beta_{r,0} + \beta_{r,1} x_{1} + \dots + \beta_{r,p} x_p & \approx \log(\rho_r^j) \\
 \pmb{B} & = \begin{pmatrix}
-\pmb{\beta}_1 \dots \pmb{\beta}_r \dots \pmb{\beta}_Q
+\pmb{\beta}_1 \dots \pmb{\beta}_r \dots \pmb{\beta}_R
-\end{pmatrix} & \pmb{B}^{\top} X_j \approx \log(\pmb{\rho}^j) \\
+\end{pmatrix} & \pmb{B}^{\top} X_{:,j} \approx \log(\pmb{\rho}^j) \\
-\pmb{B}^{\top} \pmb{X} & \approx \log((\pmb{\rho}^j)_{j=1,\dots,n_2}) = \log(\pmb{\Rho})
+\pmb{B}^{\top} \pmb{X} & \approx \log((\pmb{\rho}^j)_{j=1,\dots,n_2}) = \log(\pmb{\Rho})\\
+\end{align*}
+Et pour les probas en lignes du LBM
+\begin{align*}
+\pmb{\gamma}_{q}& = \begin{pmatrix}
+    \gamma_{q,0}\\
+    \vdots\\
+    \gamma_{q,d}
+\end{pmatrix}, & V_{:,i} = \begin{pmatrix}
+    1\\
+    v_{1}\\
+    \vdots\\
+    v_d
+\end{pmatrix}\\
+\pmb{\gamma}_q^{\top} V_{:,i}& = \gamma_{q,0} + \gamma_{q,1} x_{1} + \dots + \gamma_{q,p} x_p & \approx \log(\pi_q^i) \\
+\pmb{\Gamma} & = \begin{pmatrix}
+\pmb{\gamma}_1 \dots \pmb{\gamma}_q \dots \pmb{\gamma}_Q
+\end{pmatrix} & \pmb{\Gamma}^{\top} V_{:,i} \approx \log(\pmb{\pi}^i) \\
+\pmb{\Gamma}^{\top} \pmb{X} & \approx \log((\pmb{\pi}^i)_{i=1,\dots,n_1}) = \log(\pmb{\Pi})
+
 
 \end{align*}
 
+#### Note sur l'identifiabilité (par JBL)
+
+Soient $X : (p+1, n_2), B : (p+1, R)$ avec $X$ de plein rang, i.e., $rg(X) = p+1\implies XX^{\top}$ est inversible.
+
+On veut qu'il existe $B^{\prime}$ et $B$ avec $B_{:,R} = \vec 0_p$, par les propriétés de la fonction softmax, $\sigma(.)$ :
+
+\begin{align*}
+& \sigma(B^{\top}X) = \sigma({B^{\prime}}^{\top}X)\\
+& \iff \exists C \in \mathbb{R}^{n_2}, B^{\top} X = {B^{\prime}}^{\top} X + \pmb{1}_R C^{\top}\\
+& \iff \exists C \in \mathbb{R}^{n_2}, B^{\top} X - \pmb{1}_R C^{\top} = {B^{\prime}}^{\top} X\\
+& \iff \exists C \in \mathbb{R}^{n_2}, (B^{\top} X - \pmb{1}_R C^{\top}) X^{\top} = {B^{\prime}}^{\top} X X^{\top}\\
+& \iff \exists C \in \mathbb{R}^{n_2}, (B^{\top} X - \pmb{1}_R C^{\top}) X^{\top}(X X^{\top})^{-1} = {B^{\prime}}^{\top}\\
+& \iff \exists C \in \mathbb{R}^{n_2}, (B^{\top} X - \pmb{1}_R C^{\top})X^{-1} = {B^{\prime}}^{\top}\\
+
+\end{align*}
+
+#### Description du modèle hiérarchique
+
 Toujours modèle LBM mais avec probas d'appartenance pour les colonnes variables:
 
 \begin{align*}