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<section id="todo-list" class="level2"> <section id="todo-list" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="todo-list">TODO List</h2> <h2 class="anchored" data-anchor-id="todo-list">TODO List</h2>
<ul> <ul>
<li><p>Passer version article flat dans Gitlab du papier et nettoyer au minimum sur une branche clean.</p></li> <li><p>✅ <strong>C’est fait</strong> Passer version article flat dans Gitlab du papier et nettoyer au minimum sur une branche clean.</p></li>
<li><p>⚠️ IL Y A UNE TYPO SUR LE SIGNE DE L’ENTROPIE POUR LE PAPIER: <span class="math inline">- \mathcal{H}</span> au lieu de <span class="math inline">+\mathcal{H}</span></p></li> <li><p>✅ Corrigée !⚠️ IL Y A UNE TYPO SUR LE SIGNE DE L’ENTROPIE POUR LE PAPIER: <span class="math inline">- \mathcal{H}</span> au lieu de <span class="math inline">+\mathcal{H}</span></p></li>
<li><p>Faire tourner clustering sur Trojelsgaard</p></li> <li><p>Faire tourner clustering sur Trojelsgaard</p></li>
<li><p>Petites opérations sur les OTUs (regarder la matrice dans les yeux):</p> <li><p>Petites opérations sur les OTUs (regarder la matrice dans les yeux):</p>
<ul> <ul>
<li>Ranger les OTUs par variances (i.e.&nbsp;<code>sd(OTU_j)</code>)</li> <li>Ranger les OTUs par variances (i.e.&nbsp;<code>sd(OTU_j)</code>)</li>
<li>Dessiner les graphiques : <span class="math inline">\mathbb{V}[OTU] = f(\mathbb{E}[OTU]), \frac{\mathbb{V}[OTU]}{\mathbb{E}[OTU]^2} = f(\mathbb{E}[OTU])</span> et <span class="math inline">\frac{\mathbb{V}[OTU]}{\mathbb{E}[OTU]} = f(\mathbb{E}[OTU]) (\approx 1)</span> si les données suivent une loi de Poisson.</li> <li>✅ <strong>Dans un RMD sur Human Microbiome Compendium</strong> Dessiner les graphiques : <span class="math inline">\mathbb{V}[OTU] = f(\mathbb{E}[OTU]), \frac{\mathbb{V}[OTU]}{\mathbb{E}[OTU]^2} = f(\mathbb{E}[OTU])</span> et <span class="math inline">\frac{\mathbb{V}[OTU]}{\mathbb{E}[OTU]} = f(\mathbb{E}[OTU]) (\approx 1)</span> si les données suivent une loi de Poisson.
<ul>
<li>HMC sur-dispersés (au-dessus bissectrice)</li>
<li>Enterotype phyloseq sous-disp</li>
</ul></li>
<li>Regarder la proportion de 1. taxon rares, 2. zeros.</li> <li>Regarder la proportion de 1. taxon rares, 2. zeros.</li>
<li>Faire des coupures selon niveaux taxonomiques et regarder si <span class="math inline">\mathbb{V}_{\text{intra}} \approx \mathbb{V}_{\text{inter}}</span></li> <li>Faire des coupures selon niveaux taxonomiques et regarder si <span class="math inline">\mathbb{V}_{\text{intra}} \approx \mathbb{V}_{\text{inter}}</span></li>
<li><em>Bonus</em>: faire ça dans qmd et voir si forge permet gitlab pages</li> <li><em>Bonus</em>: faire ça dans qmd et voir si forge permet gitlab pages</li>
</ul></li> </ul></li>
<li><p>Faire tourner un LBM sur Human Gut et voir si ça plante sinon:</p> <li><p>✅ Faire tourner un LBM sur Human Gut et voir si ça plante sinon, <strong>ça plante, la ram est surchargée.</strong></p>
<ul> <ul>
<li>⌛ Je tente avec SparseBM de JBL sur Python</li>
<li>Faire LBM sur niveau taxonomique grossier, initialiser avec le résultat pour un niveau plus fin et ainsi de suite.</li> <li>Faire LBM sur niveau taxonomique grossier, initialiser avec le résultat pour un niveau plus fin et ainsi de suite.</li>
</ul></li> </ul></li>
<li><p>⌛ Prendre jeu de données exemple de phyloseq :</p>
<ul>
<li>✅ 😞 enterotype tourne mais pas bon résultats (semble deux blocs échantillons mais pas vu par le modèle).</li>
<li>🕑 des jeux de données de Mahendra ne tourne pas (phase forward interminable).</li>
</ul></li>
<li><p>Relire <span class="citation" data-cites="peixotoHierarchicalBlockStructures2014">Peixoto (<a href="#ref-peixotoHierarchicalBlockStructures2014" role="doc-biblioref">2014</a>)</span></p> <li><p>Relire <span class="citation" data-cites="peixotoHierarchicalBlockStructures2014">Peixoto (<a href="#ref-peixotoHierarchicalBlockStructures2014" role="doc-biblioref">2014</a>)</span></p>
<ul> <ul>
<li>Regarder les gens qui citent les travaux de Peixoto</li> <li>Regarder les gens qui citent les travaux de Peixoto</li>
@ -288,8 +298,12 @@ Idées
<li>Travailler sur Fungus Tree network</li> <li>Travailler sur Fungus Tree network</li>
<li>Comparaison covar prop avec GREMLINS multipartite sur (log(dist_phylo), fungus-tree)</li> <li>Comparaison covar prop avec GREMLINS multipartite sur (log(dist_phylo), fungus-tree)</li>
<li>Trouver manière de faire un compromis : <span class="math inline">\ell(Y,Z,W;\theta) - \lambda d(C(W),C_0)</span> avec <span class="math inline">C(W)</span> le clustering seulement sur la base de la structure LBM et <span class="math inline">C_0</span> le clustering de l’arbre. Problème <span class="math inline">d</span> est une distance entre partition, comment optimiser dessus ?</li> <li>Trouver manière de faire un compromis : <span class="math inline">\ell(Y,Z,W;\theta) - \lambda d(C(W),C_0)</span> avec <span class="math inline">C(W)</span> le clustering seulement sur la base de la structure LBM et <span class="math inline">C_0</span> le clustering de l’arbre. Problème <span class="math inline">d</span> est une distance entre partition, comment optimiser dessus ?</li>
<li>Mise à jour partielle des <span class="math inline">\tau</span> : ce qui pose soucis c’est les gros calculs matriciels (c’est vraiment vrai?). Donc sorte de “stochastic” VEM où on update seulement une partie des <span class="math inline">\tau</span> à chaque itération. Et échantillonnage stratifié selon l’arbre ?</li> <li>⌛ Mise à jour partielle des <span class="math inline">\tau</span> : ce qui pose soucis c’est les gros calculs matriciels (c’est vraiment vrai?). Donc sorte de “stochastic” VEM où on update seulement une partie des <span class="math inline">\tau</span> à chaque itération. Et échantillonnage stratifié selon l’arbre ?
<li>Chercher à formuler le problème dual (s’il existe?) de l’optimisation du LBM. Peut-être possible d’aller plus vite alors ?</li> <ul>
<li>⌛ Simulations avec <span class="math inline">n_2</span> croissant lancée sur Migale</li>
<li>Réimplementé VE Bernoulli dans colSBM pour Bipartite et début implémentation Stochastic VE. En fait le problème des calculs matriciels <span class="math inline">Y\times(\tau^{(1)})^{\top}</span> (<span class="math inline">n_2^2</span>) donc besoin de sous-échantillonner les noeuds de l’autre dimension à mettre à jour.</li>
</ul></li>
<li>✅ <strong>Inutile car besoin du primal</strong> Chercher à formuler le problème dual (s’il existe?) de l’optimisation du LBM. Peut-être possible d’aller plus vite alors ? <a href="#eq-dual" class="quarto-xref">Équation&nbsp;2</a></li>
</ul> </ul>
</div> </div>
</div> </div>
@ -340,20 +354,6 @@ Y_{i,j}&amp;\mid Z_i = q, W_j = r \sim \mathcal{F}(\alpha_{qr})
- \sum_{i=1}^{n_1} \tau_{iq}^{1} \log \tau_{iq}^{1} - \sum_{j=1}^{n_2} \tau_{jr}^{2} \log \tau_{jr}^{2} - \sum_{i=1}^{n_1} \tau_{iq}^{1} \log \tau_{iq}^{1} - \sum_{j=1}^{n_2} \tau_{jr}^{2} \log \tau_{jr}^{2}
</span></p> </span></p>
<p>Plusieurs possibilités pour la définition de <span class="math inline">\rho_r^j</span></p> <p>Plusieurs possibilités pour la définition de <span class="math inline">\rho_r^j</span></p>
<section id="modèle-1-tabouy" class="level5">
<h5 class="anchored" data-anchor-id="modèle-1-tabouy">Modèle 1 (Tabouy)</h5>
<p>Dénominateur pas correct, ne somme pas à 1.</p>
<p><span class="math inline">\rho_r^j = \frac{\exp{\beta_r X_j\mathbf{1}_{\{r\neq R\}}}}{1+\sum_{s=1}^{R-1} \beta_s X_j}, \beta_R = 0</span> et <span class="math inline">\rho_R^{j} = \frac{1}{1+\sum_{s=1}^{R-1} \beta_s X_j}</span> (pas de compréhension intuitive)</p>
<p>La partie pertinente de l’ELBO devient: <span class="math display">
P((\beta_r)_{r=1,\dots,R}, (X_j)_{j=1,\dots,n_2}, (\tau_{jr})_{\substack{j=1,\dots,n_2\\r=1,\dots,R}} ) = \sum_{j=1}^{n_2} \sum_{r=1}^{R} [\tau_{jr} (\beta_r X_j \mathbb{1}_{r\neq R} - \log (1+\sum_{s=1}^{R-1} \beta_s X_j))]
</span></p>
<p>Et on obtient la dérivée partielle par rapport à <span class="math inline">\beta_t</span> comme: <span class="math display">\begin{align*}
\dfrac{\partial P}{\partial \beta_t}&amp;((\beta_r)_{r=1,\dots,R}, (X_j)_{j=1,\dots,n_2}, (\tau_{jr})_{\substack{j=1,\dots,n_2\\r=1,\dots,R}} ) = \sum_{j=1}^{n_2} \biggl[ \tau_{jt} X_j - \frac{X_j}{1+\sum_{s=1}^{R-1} \exp{\beta_s X_j}} \biggr]\\
&amp; = \sum_{j=1}^{n_2} \biggl[\bigl(\tau_{jt} - \frac{1}{1+\sum_{s=1}^{R-1} \beta_s X_j} \bigr) X_j\biggr] = \sum_{j=1}^{n_2} \biggl[\bigl(\tau_{jt} - \rho_R^j \bigr) X_j\biggr]
\end{align*}</span></p>
<p>❓ Gradient mesure l’écart entre probas a posteriori et la proba a priori du groupe de référence ?</p>
<p><strong>Conclusion</strong>: Il manque l’exponentielle cette formulation ne somme pas à 1.</p>
</section>
<section id="modèle-sophie" class="level5"> <section id="modèle-sophie" class="level5">
<h5 class="anchored" data-anchor-id="modèle-sophie">Modèle Sophie</h5> <h5 class="anchored" data-anchor-id="modèle-sophie">Modèle Sophie</h5>
<p>Avec <span class="math inline">\rho_r^j = \frac{\exp{\beta_r X_j}}{\sum_{s=1}^{R} \exp{\beta_s X_j}} = \sigma(\pmb{\beta} \pmb{X})_{r,j}</span>, où <span class="math inline">\sigma</span> désigne le softmax. Mais il y a besoin de poser une contrainte sur l’un des <span class="math inline">(\beta_r)_{r=1,\dots,R}</span>, ici <span class="math inline">\beta_R = 0</span>.</p> <p>Avec <span class="math inline">\rho_r^j = \frac{\exp{\beta_r X_j}}{\sum_{s=1}^{R} \exp{\beta_s X_j}} = \sigma(\pmb{\beta} \pmb{X})_{r,j}</span>, où <span class="math inline">\sigma</span> désigne le softmax. Mais il y a besoin de poser une contrainte sur l’un des <span class="math inline">(\beta_r)_{r=1,\dots,R}</span>, ici <span class="math inline">\beta_R = 0</span>.</p>
@ -366,6 +366,118 @@ Y_{i,j}&amp;\mid Z_i = q, W_j = r \sim \mathcal{F}(\alpha_{qr})
\end{align*}</span></p> \end{align*}</span></p>
</section> </section>
</section> </section>
<section id="idée-du-problème-dual" class="level4">
<h4 class="anchored" data-anchor-id="idée-du-problème-dual">Idée du problème dual</h4>
<p>Les distributions variationnelles sont définies par :</p>
<p><span class="math display">
q(Z,W)
=
\prod_{i=1}^{n_1} q_i(Z_i)
\prod_{j=1}^{n_2} q_j(W_j),
</span></p>
<p>avec <span class="math display">
q_i(Z_i=q)=\tau_{iq}^{(1)},
\qquad
q_j(W_j=r)=\tau_{jr}^{(2)}.
</span></p>
<p>Les contraintes de normalisation sont : <span class="math display">
\sum_{q=1}^Q \tau_{iq}^{(1)} = 1,
\qquad
\sum_{r=1}^R \tau_{jr}^{(2)} = 1.
</span></p>
<hr>
<section id="lagrangien" class="level5">
<h5 class="anchored" data-anchor-id="lagrangien">Lagrangien</h5>
<p>Le lagrangien du problème variationnel s’écrit : <span class="math display">
\mathcal{L}\!\left(
\tau^{(1)},\tau^{(2)},(\lambda_i)_{i=1}^{n_1},(\mu_j)_{j=1}^{n_2}
\right)
=
\mathcal{J}(\mathcal{R},\pmb{\theta})
+
\sum_{i=1}^{n_1} \lambda_i
\left(1-\sum_{q=1}^Q \tau_{iq}^{(1)}\right)
+
\sum_{j=1}^{n_2} \mu_j
\left(1-\sum_{r=1}^R \tau_{jr}^{(2)}\right),
</span> où <span class="math inline">\mathcal{J}(\mathcal{R},\pmb{\theta})</span> désigne la borne inférieure variationnelle associée au modèle et aux paramètres <span class="math inline">\Theta</span>.</p>
<hr>
</section>
<section id="problème-primal-conditions-doptimalité" class="level5">
<h5 class="anchored" data-anchor-id="problème-primal-conditions-doptimalité">Problème primal (conditions d’optimalité)</h5>
<p>En dérivant le lagrangien par rapport aux variables variationnelles <span class="math inline">\tau^{(1)}</span> et <span class="math inline">\tau^{(2)}</span>, puis en égalisant à zéro, on obtient les équations de point fixe suivantes :</p>
<p><span class="math display">
\tau_{iq}^{(1)}
\propto
\pi_q^{(t)}
\prod_{j=1}^{n_2}
\prod_{r=1}^{R}
f\!\left(Y_{ij};\alpha_{qr}^{(t)}\right)^{\tau_{jr}^{(2),(t+1)}},
\quad
\forall i=1,\dots,n_1,\;
q=1,\dots,Q,
</span></p>
<p><span class="math display">
\tau_{jr}^{(2)}
\propto
\rho_r^{(t)}
\prod_{i=1}^{n_1}
\prod_{q=1}^{Q}
f\!\left(Y_{ij};\alpha_{qr}^{(t)}\right)^{\tau_{iq}^{(1),(t+1)}},
\quad
\forall j=1,\dots,n_2,\;
r=1,\dots,R,
</span> où :</p>
<ul>
<li><span class="math inline">\pi_q^{(t)}</span> et <span class="math inline">\rho_r^{(t)}</span> sont les proportions de classes,</li>
<li><span class="math inline">f(\cdot;\alpha_{qr})</span> est la loi d’émission du modèle,</li>
<li><span class="math inline">\alpha_{qr}^{(t)}</span> désigne les paramètres de bloc à l’itération <span class="math inline">t</span>.</li>
</ul>
<hr>
</section>
<section id="constantes-de-normalisation" class="level5">
<h5 class="anchored" data-anchor-id="constantes-de-normalisation">Constantes de normalisation</h5>
<p>Les constantes de normalisation associées sont données par :</p>
<p><span class="math display">
T^{(1),(t)}_i
=
\sum_{q=1}^{Q}
\pi_q^{(t)}
\exp\!\left(
\sum_{j=1}^{n_2}
\sum_{r=1}^{R}
\tau_{jr}^{(2)}
\log f\!\left(Y_{ij};\alpha_{qr}^{(t)}\right)
\right),
</span></p>
<p><span class="math display">
T^{(2),(t)}_j
=
\sum_{r=1}^{R}
\rho_r^{(t)}
\exp\!\left(
\sum_{i=1}^{n_1}
\sum_{q=1}^{Q}
\tau_{iq}^{(1)}
\log f\!\left(Y_{ij};\alpha_{qr}^{(t)}\right)
\right).
</span></p>
<p>Ainsi, les mises à jour normalisées s’écrivent : <span class="math display">
\tau_{iq}^{(1)} = \frac{1}{T^{(1),(t)}_i}(\cdots),
\qquad
\tau_{jr}^{(2)} = \frac{1}{T^{(2),(t)}_j}(\cdots).
</span></p>
<hr>
</section>
<section id="interprétation-duale" class="level5">
<h5 class="anchored" data-anchor-id="interprétation-duale">Interprétation duale</h5>
<p>Les multiplicateurs de Lagrange s’identifient alors à : <span id="eq-dual"><span class="math display">
\lambda_i = -\log T^{(1),(t)}_i - 1,
\qquad
\mu_j = -\log T^{(2),(t)}_j - 1,
\tag{2}</span></span> et le problème dual consiste à minimiser une somme de fonctions de log-partition, ce qui montre que l’algorithme VEM réalise implicitement une descente sur le dual.</p>
</section>
</section>
<section id="bibliographie-à-lire-à-faire" class="level4"> <section id="bibliographie-à-lire-à-faire" class="level4">
<h4 class="anchored" data-anchor-id="bibliographie-à-lire-à-faire">Bibliographie: à lire, à faire</h4> <h4 class="anchored" data-anchor-id="bibliographie-à-lire-à-faire">Bibliographie: à lire, à faire</h4>
<ul> <ul>