diff --git a/_macros.tex b/_macros.tex
index d15791f..46830af 100644
--- a/_macros.tex
+++ b/_macros.tex
@@ -4,4 +4,9 @@
 \newcommand{\Var}{\mathbb{V}}
 \newcommand{\Esp}{\mathbb{E}}
 \newcommand{\Prob}{\mathbb{P}}
-\newcommand{\calL}{\mathcal{L}}
\ No newline at end of file
+\newcommand{\calL}{\mathcal{L}}
+\newcommand{\Normal}{\mathcal{N}}
+\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
+\DeclareMathOperator{\ilr}{ilr}
+\DeclareMathOperator{\clr}{clr}
+\DeclareMathOperator{\Cat}{Cat}
\ No newline at end of file
diff --git a/knowledge_base/figs/projets-phylo/dag-simple.pdf b/knowledge_base/figs/projets-phylo/dag-simple.pdf
new file mode 100644
index 0000000..bca2307
Binary files /dev/null and b/knowledge_base/figs/projets-phylo/dag-simple.pdf differ
diff --git a/knowledge_base/figs/projets-phylo/dag-simple.tex b/knowledge_base/figs/projets-phylo/dag-simple.tex
new file mode 100644
index 0000000..3b20568
--- /dev/null
+++ b/knowledge_base/figs/projets-phylo/dag-simple.tex
@@ -0,0 +1,54 @@
+\documentclass{standalone}
+
+\usepackage{tikz}
+
+\usetikzlibrary{positioning,shapes.arrows, arrows.meta,shapes.geometric}
+\begin{document}
+\begin{tikzpicture}
+    \tikzset{
+    every path/.append style = {
+            arrows = ->,
+            > = stealth,
+        },
+    every node/.append style = {
+            shape = circle,
+            draw = black,
+            minimum size=3em
+        },
+    latent/.style = {
+            fill = lightgray
+        },
+    prior/.style = {
+            fill = red
+        },
+    moral/.style = {
+    dashed,
+    > = {},       % remove arrow tip
+    arrows = -,   % ensure no arrows
+    }
+    }
+
+    \node (y) {$Y$};
+    \node[latent] (z) [above left = of y] {$Z$};
+    \node[latent] (w) [above right = of y] {$W$};
+
+    \node[latent] (P) [above = of z] {$P$};
+    \node[prior] (sigma2) [above = of P] {$\sigma^2$};
+    \node[prior] (rho) [above = of w] {$\rho_{1:R}$};
+    \node[prior] (alpha) [below = of y] {$\pmb{\alpha}$};
+
+    \path (z) edge (y);
+    \path (w) edge (y);
+    \path (rho) edge (w);
+    \path (alpha) edge (y);
+    \path (P) edge (z);
+    \path (sigma2) edge (P);
+
+    % moral
+    \path[moral] (z) edge (alpha);
+    \path[moral] (w) edge (alpha);
+    \path[moral] (z) edge (w);
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/knowledge_base/projets-phylo.qmd b/knowledge_base/projets-phylo.qmd
index 84e1a13..a790adc 100644
--- a/knowledge_base/projets-phylo.qmd
+++ b/knowledge_base/projets-phylo.qmd
@@ -11,12 +11,39 @@ Dans le 3e axe de ma thèse nous souhaitons inclure de l'information phylogéné
 
 1. Ces réseaux se présentent sous la forme de matrice des comptages hautement rectangulaire, c'est-à-dire avec un grand nombre de microorganismes et, en comparaison, peu d'échantillons (de sols, d'aliments, de patients...). Cette haute dimensionnalité met en échec les méthodes classiques non concues pour gérer autant de noeuds (SBM). Il s'agit donc d'un **premier enjeu** 
 
-2. Les données de comptages de ces matrices sont compositionnelles : la profondeur de séquençage (le nombre de séquences lues) étant finie, cela implique une dépendance entre les comptages observés. Si une séquence est surexprimée par rapport aux autres, alors que l'abondance réelle des autres n'a pas changée, les comptages observés des autres séquences vont diminuer. Voir [@note-donnees-compo].
+2. Les données de comptages de ces matrices sont compositionnelles : la profondeur de séquençage (le nombre de séquences lues) étant finie, cela implique une dépendance entre les comptages observés. Si une séquence est surexprimée par rapport aux autres, alors que l'abondance réelle des autres n'a pas changée, les comptages observés des autres séquences vont diminuer. Voir [la note sur les données compositionnelles](#note-donnees-compo).
 
 ::: {#note-donnees-compo .callout-note title="Données compositionelles"}
-Soit $N$ la profondeur de séquençage, $\forall s \in \{1,\dots,s\}, n_s$ le nombre réel de fois où la séquence $s$ est présente. Les comptages observés $o_s$ pour la séquence $s$ sont $o_s = \dfrac{n_s}{N}$, et on a $\sum_{s} o_s = N$ par construction.  
+Soit $N$ la profondeur de séquençage, $\forall s \in \{1,\dots,s\}, n_s$ le nombre réel de fois où la séquence $s$ est présente, $t = \sum_s n_s$ la somme des séquences totale. Les comptages observés $o_s$ pour la séquence $s$ sont $o_s = \dfrac{n_s}{N}$, et on a $\sum_{s} o_s = \dfrac{1}{N} \sum_{s} n_s$ par construction.
+
+Et donc à pour un $S$ quelconque on a $o_S = \dfrac{t}{N} - \sum_{s, s\neq S} o_s$ et donc une contrainte sur les $o_s$.
 :::
 
+Diverses autres enjeux se posent quand on considère ce type de données. Par exemple, l'arbre phylogénétique peut ne pas être directement accessible, ou bien être dominé par un certain clade. Il peut aussi exploser en nombre d'individu à chaque niveau (à relier au point 1).
+
+## Formalisme commun
+
+Dans la suite, nous considèrerons $\mathcal{T}$ l'arbre ayant $L$ niveaux, indexés de $l = 0,\dots,L$ avec $0$ la racine commune et $L$ les feuilles de l'arbre.
+
+$Y$ la matrice de bi-adjacence encodant le graphe et modélisant les interactions, de taille $n_1\times n_2$.
+
+$V, X$ les matrices de covariable sur les noeuds en ligne et en colonnes de $Y$. $V$ est de taille $n_1 \times d$ et $X$ est de taille $n_2 \times p$
+
+# SBM (ou LBM) Séquentiel
+
+## Formalisation de l'idée
+
+Ici on utilise l'arbre phylogénétique afin d'initialiser l'EM variationnel du niveau suivant.
+
+Concrètement, on ajuste un LBM au niveau $l$, sur la matrice de comptage aggrégées à ce niveau $Y^l$, ce qui donne des probabilités variationnelles $\pmb{\tau}^{1,l},\pmb{\tau}^{2,l}$ qui sont de tailles respectives $n_{1,l} \times Q_{l}$ et $n_{2,l} \times R_{l}$.
+
+Puis pour tout individu $u\in \text{Child}(i)$, on initialise ses probas $\widetilde{\tau}^{1,l+1}_u = \tau^{1,l}_u + \varepsilon_{u}$, avec $\varepsilon_u \sim \mathcal{N}_{Q_l}(0,\sigma^2)$ et on renormalise $\tau^{1,l+1}_{u} = \dfrac{\widetilde{\tau}^{1,l+1}_u}{\sum_q \widetilde{\tau}^{1,l+1}_{u,q}}$. On ajoute une perturbation afin de ne pas rester bloqué sur le point fixe précédent et de pouvoir donc obtenir les $\tau^{1,l+1}$ à l'issue de l'optimisation.
+
+## Limites de l'approche
+
+Le passage d'information selon l'arbre nous semble intuitivement être une bonne approche et les résultats que nous avons obtenues indique qu'un peu d'information semble passer mais il faut aller profondément dans l'arbre et alors on rencontre le problème du coût computationnel.
+En effet cette méthode ne diminue pas le coût en calcul puisqu'elle calcule un LBM à chacun des $L$ niveaux, au mieux elle donne un point d'initialisation intelligent mais cela semble difficilement applicable à des données réelles.
+
 
 # SBM et LBM avec covariables sur les noeuds
 
@@ -120,4 +147,25 @@ Maintenant, Sophie et Pierre gèrent la rédaction de vignettes et de simulation
 
 Nous attendons de voir si l'on trouve un jeu de données adaptées pour cette méthode.
 
-**Limites** : Ce modèle ne permet pas le passage à l'échelle pour les gros réseaux que représentent les matrices de comptage.
\ No newline at end of file
+**Limites** : Ce modèle ne permet pas le passage à l'échelle pour les gros réseaux que représentent les matrices de comptage.
+
+# LBM avec dépendance latente entre les probabilités *a priori*
+
+## Formalisation du modèle
+
+Pierre a proposé que l'on pose une structure latente sur les $\pmb{Z}$. C'est à dire
+ \begin{align*}
+     & P \sim \Normal_{n_1, K-1} (O_{n_1, K-1}, \Sigma, \sigma^2 Id_{K-1}), \\
+     \forall i \in \{1,\dots,n_1\}, & Z_i \mid P_i  \overset{ind}{\sim} \Cat_{K} ({\ilr}^{-1}(P_i) = \pi_{1:K}^{(i)}), \\
+     \forall j \in \{1,\dots,n_2\}, & W_j \overset{iid}{\sim} \Cat_R (\rho_{1:R}),\\
+     \forall i,j \in \{1,\dots,n_1\}\times\{1,\dots,n_2\}, & Y_{ij} \mid Z_i = k, W_j = r \overset{ind}{\sim} \mathcal{F}(\alpha_{qr}),
+ \end{align*}
+ avec $\Sigma$, la matrice de variance-covariance déterminée en fonction de l'apparentement (phylogénétique) des noeuds.
+
+![Le DAG simplifié du modèle](figs/projets-phylo/dag-simple.pdf)
+
+# Échantillonnage selon l'arbre
+
+Afin d'affronter le coût computationnel que représente l'ajustement 
+
+# *Latent Position Model* (LPM) avec phylogénie des représentations latentes selon la phylogénie 
\ No newline at end of file