soutenance : vfinale

.woodpecker.yaml

@@ -0,0 +1,31 @@
+when:
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+
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+        # Could also be "hello-world*" to match both
+        - "hello-world"
+        - "hello-world.exe"
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+        from_secret: ACCESS_TOKEN

soutenance/annexe.tex

@@ -1,5 +1,78 @@
-\section{Notes supplémentaires}
+\section{VEM}
-\printappxnotes
 
+\begin{frame}
+    \frametitle{Pourquoi VE minimise KL ?}
+    \begin{align*}
+        \ell_c(\bY,\bZ,\bW;\theta)                               & = \log \Prob(\bZ, \bW|\bY;\theta) + \ell(\bY;\theta)                                    \\
+        \Leftrightarrow            \ell(\bY;\theta)              & = \ell_c(\bY,\bZ,\bW;\theta) - \log \Prob(\bZ, \bW|\bY;\theta)                          \\
+        \Leftrightarrow            \Esp_{\Ryt}[\ell(\bY;\theta)] & = \Esp_{\Ryt}[\ell_c(\bY,\bZ,\bW;\theta)] - \Esp_{\Ryt}[\log \Prob(\bZ,\bW|\bY;\theta)] \\
+        \Leftrightarrow            \ell(\bY;\theta)              & = \Esp_{\Ryt}[\ell_c(\bY,\bZ,\bW;\theta)] - \Esp_{\Ryt}[\log \Prob(\bZ,\bW|\bY;\theta)] \\
+    \end{align*}
+    \begin{align*}
+        \text{Or }\KL{\Ryt}{\log \Prob(\bZ,\bW|\bY;\theta)}                         & = - \Esp_{\Ryt} [\log \frac{\Prob(\bZ,\bW|\bY;\theta)}{\Ryt}] \\
+        = - \Esp_{\Ryt} [\log \Prob(\bZ,\bW|\bY;\theta)] +                          & \underbrace{\Esp_{\Ryt[\log \Ryt]}}_{-\Hshannon(\Ryt)}        \\
+        \Leftrightarrow \KL{\Ryt}{\log \Prob(\bZ,\bW|\bY;\theta)} + \Hshannon(\Ryt) & = - \Esp_{\Ryt} [\log \Prob(\bZ,\bW|\bY;\theta)]
+    \end{align*}
+    D'où $\ell(\bY;\theta) - \KL{\Ryt}{\log \Prob(\bZ,\bW|\bY;\theta)} = \mathcal{J}(\tau;\theta) \qed$
+\end{frame}
 
-\section{Sélection de modèle}
+\section{Résultats~\cite{baldockSystemsApproachReveals2019a,baldockDailyTemporalStructure2011}}
+\begin{frame}[allowframebreaks]
+    \begin{figure}[ht]
+        \centering
+        \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
+            \centering
+            \includestandalone[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Bristol}
+            \caption{Donnée}
+        \end{subfigure}\hfil
+        \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
+            \centering
+            \includestandalone[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Bristol}
+            \caption{Réordonnée}
+        \end{subfigure}
+        \caption{Bristol}
+    \end{figure}
+
+    \begin{figure}[ht]
+        \centering
+        \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
+            \centering
+            \includestandalone[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Edinburgh}
+            \caption{Donnée}
+        \end{subfigure}\hfil
+        \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
+            \centering
+            \includestandalone[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Edinburgh}
+            \caption{Réordonnée}
+        \end{subfigure}
+        \caption{Edinburgh}
+    \end{figure}
+
+    \begin{figure}
+        \begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
+            \centering
+            \includestandalone[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Leeds}
+            \caption{Donnée}
+        \end{subfigure}\hfil
+        \begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
+            \centering
+            \includestandalone[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Leeds}
+            \caption{Réordonnée}
+        \end{subfigure}
+        \caption{Leeds}
+    \end{figure}
+
+    \begin{figure}
+        \begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
+            \centering
+            \includestandalone[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Reading}
+            \caption{Donnée}
+        \end{subfigure}\hfil
+        \begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
+            \centering
+            \includestandalone[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Reading}
+            \caption{Réordonnée}
+        \end{subfigure}
+        \caption{Reading}
+    \end{figure}
+\end{frame}

soutenance/principal.tex

@@ -2,205 +2,278 @@
 \label{sec:contexte-du-modele}
 
 \begin{frame}
+    \frametitle{Pourquoi un réseau ?}
     \begin{columns}
         \begin{column}{0.5\textwidth}
-            \begin{block}{Contexte écologique}
+            \begin{columns}
-                \begin{itemize}
+                \begin{column}{0.5\textwidth}
-                    \small
+                    \begin{figure}[ht]
-                    \item Nombreux réseaux disponibles pour
-                          interactions similaires.
-                    \item Suivi biodiversité, robustesse et risque
-                          d'effondrement \dots
-                \end{itemize}
-                \begin{columns}
-                    \begin{column}{0.5\textwidth}
-                        \begin{figure}[ht]
-                            \centering
-                            \begin{tikzpicture}[scale=.45,rotate=270]
-                                \input{../tikz/plantpollinatornetwork.tex}
-                            \end{tikzpicture}
-                            \caption{Exemple d'un réseau plantes-pollinisateurs}
-                            \label{fig:plantes-pollin}
-                        \end{figure}
-                    \end{column}
-                    \begin{column}{0.4\textwidth}
                         \centering
-                        \begin{align*}
+                        \begin{tikzpicture}[scale=.6,rotate=270]
-                            \begin{pmatrix}
+                            \input{tikz/plantpollinatornetwork.tex}
-                                1 & 0 & 1 \\
+                        \end{tikzpicture}
-                                1 & 0 & 0 \\
+                        \caption{Exemple d'un réseau}
-                                1 & 0 & 0 \\
+                        \label{fig:plantes-pollin}
-                                1 & 1 & 0
+                    \end{figure}
-                            \end{pmatrix}
+                \end{column}
-                        \end{align*}
+                \begin{column}{0.3\textwidth}
-                        \footnotesize
+                    \centering
-                        Matrice d'adjacence associée
+                    \begin{align*}
-                    \end{column}
+                        \begin{pmatrix}
-                \end{columns}
+                            1 & 0 & 1 \\
-            \end{block}
+                            1 & 0 & 0 \\
-
+                            1 & 0 & 0 \\
+                            1 & 1 & 0
+                        \end{pmatrix}
+                    \end{align*}
+                    \footnotesize
+                    Matrice d'adjacence associée
+                \end{column}
+            \end{columns}
+            \begin{figure}[ht]
+                \centering
+                \includestandalone[width=0.7\textwidth]{tikz/applications/baldock/graph-Baldock2019_Bristol}
+                \caption{Réseau plante-pollinisateur de
+                    Bristol\newline\cite{baldockSystemsApproachReveals2019a}}
+                \label{fig:label}
+            \end{figure}
+        \end{column}
+        \begin{column}{0.5\textwidth}
+            \begin{itemize}
+                \item Modélisation d'interactions variées, ici d'écosystèmes
+                \item Structure nécessaire pour~: suivi biodiversité,
+                      robustesse, risque d'effondrement
+                \item De plus en plus disponibles
+            \end{itemize}
         \end{column}
-        \onslide<2>{
-            \begin{column}{0.45\textwidth}
-                \begin{block}{Contexte mathématique}
-                    Pour un unique réseau~: variables latentes,
-                    \emph{embedding}, \dots
-
-                    Motivations pour proposer des méthodes adaptées aux collections
-                    de réseaux~:
-                    \begin{itemize}
-                        \item Espèces différentes, rôles analogues.
-                        \item Transfert d'informations grands vers petits réseaux.
-                        \item Regrouper les réseaux selon leur similarité (\emph{clustering}
-                              de réseaux).
-                    \end{itemize}
-                \end{block}
-            \end{column}
-        }
     \end{columns}
 \end{frame}
 
+\begin{frame}{Méthodes d'analyse pour un réseau}
+    Plusieurs méthodes~:
+    \begin{itemize}
+        \item Métriques~: degré, centralité, emboîtement \dots
+        \item Plongement des réseaux avec GNN
+        \item \textbf<2>{\emph{Clustering} des n\oe uds avec modèles à variables latentes}
+    \end{itemize}
+\end{frame}
+
 \begin{frame}
     \addtocounter{footnote}{1}
     \frametitle{Latent Block Model (LBM\footnotemark[\thefootnote])}
     %DONE remplacer i \in bullet par Zi = \bullet
-    Proposé par~\cite{govaertEMAlgorithmBlock2005}.
+    \cite{govaertEMAlgorithmBlock2005}.
     \begin{columns}
         \begin{column}{0.40\linewidth}
             \begin{figure}[H]
                 \center
                 \begin{tikzpicture}[scale=0.35]
-                    \input{../tikz/lbm.tex}
+                    \input{tikz/lbm.tex}
                 \end{tikzpicture}
                 \caption{Exemple de LBM\footnotemark[\thefootnote]}
                 \label{fig:LBMvisu}
             \end{figure}
         \end{column}
-        \begin{column}{0.51\linewidth}
+        \only<1>{
-            Pour \begin{itemize}
+            \begin{column}{0.51\linewidth}
-                \item $Q_1 = |\{{\color{blueind}\bullet},{\color{cyanind}\bullet},{\color{electricblue}\bullet}\}|$ blocs fixés en ligne
+                \begin{block}{Modèle hiérarchique}
-                \item $Q_2 = |\{{\color{burntorange}\bullet},{\color{goldenyellow}\bullet},{\color{peach}\bullet}\}|$ blocs fixés en colonne
+                    \vspace{-\baselineskip}
-            \end{itemize}
+                    \begin{align*}
-            \begin{block}{Paramètres}
+                        \forall q\in[\![ 1, Q_1]\!],~ & \mathbb{P}(Z_i = q) = \pi_q                          \\
-                \begin{itemize}
+                        \forall r\in[\![ 1, Q_2]\!],~ & \mathbb{P}(W_j = r) =  \rho_r                        \\
-                    \item $\pi_{\bullet} = \mathbb{P}(Z_i = \bullet)$ en ligne et $\rho_{\bullet} = \mathbb{P}(W_j = \bullet)$ en colonne
+                                                      & Y_{ij} | Z_i, W_j \sim \mathcal{F}(\alpha_{Z_i,W_j})
-                    \item $\alpha_{{\color{blueind}\bullet}{\color{burntorange}\bullet}} = \mathbb{P}(X_{ij} = 1 | Z_i = {\color{blueind}\bullet}, W_j = {\color{burntorange}\bullet})$
+                    \end{align*}
+                    où $|\pi| = Q_1, |\rho| = Q_2, |\alpha| = Q_1 \times Q_2$
+                \end{block}
+                \begin{block}{Formule concise LBM}
+                    $Y \sim \mathcal{F}\text{-BiSBM}_{n_1,n_2}(Q_1, Q_2, \pi, \rho, \alpha)$
+                \end{block}
+            \end{column}}
+        \only<2>{
+            \begin{column}{0.51\linewidth}
+                Avec \begin{itemize}
+                    \item $Q_1 = |\{{\color{blueind}\bullet},{\color{cyanind}\bullet},{\color{electricblue}\bullet}\}|$ blocs fixés en ligne
+                    \item $Q_2 = |\{{\color{burntorange}\bullet},{\color{goldenyellow}\bullet},{\color{peach}\bullet}\}|$ blocs fixés en colonne
                 \end{itemize}
-            \end{block}
+                \begin{block}{Paramètres}
-        \end{column}
+                    \begin{itemize}
+                        \item $\pi_{{\color{blueind}\bullet}} = \mathbb{P}(Z_i = {\color{blueind}\bullet})$
+                        \item $\rho_{{\color{burntorange}\bullet}} = \mathbb{P}(W_j = {\color{burntorange}\bullet})$
+                        \item $\alpha_{{\color{blueind}\bullet}{\color{burntorange}\bullet}} = \mathbb{P}(Y_{ij} = 1 | Z_i = {\color{blueind}\bullet}, W_j = {\color{burntorange}\bullet})$
+                    \end{itemize}
+                \end{block}
+            \end{column}}
     \end{columns}
 
     \footnotetext[\thefootnote]{Que j'appellerai par la suite BiSBM}
-
 \end{frame}
 
-\section{Modèle de collection de réseaux bipartites}
+\begin{frame}
+    \frametitle{Plusieurs réseaux}
+    \begin{figure}[ht]
+        \centering
+        \begin{subfigure}[ht]{0.3\textwidth}
+            \includestandalone[width=1.1\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Bristol}
+            \caption{Bristol}
+        \end{subfigure}
+        \begin{subfigure}[ht]{0.3\textwidth}
+            \includestandalone[width=1.1\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Edinburgh}
+            \caption{Edinburgh}
+        \end{subfigure}
+        \begin{subfigure}[ht]{0.3\textwidth}
+            \includestandalone[width=1.1\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Leeds}
+            \caption{Leeds}
+        \end{subfigure}
+        \caption{Matrices d'adjacence,~\cite{baldockSystemsApproachReveals2019a}}
+        \label{fig:adj}
+    \end{figure}
+\end{frame}
+
+
+\section[Modèles collection bipartites]{Modèles de collection de réseaux bipartites}
 \label{sec:extension-de-colsbm-aux-reseaux-bipartites}
 \begin{frame}
     \frametitle{Collections bipartites}
-    \begin{tikzpicture}[scale=0.33]
+    \[
-        \input{../tikz/collbm-iid.tex}
+        \forall m \in \{1\dots M\}, Y^m \overset{ind}{\sim} \mathcal{F}\text{-BiSBM}_{n_1^m,n_2^m}(Q_1^m, Q_2^m, \pi^m, \rho^m, \alpha^m)
-    \end{tikzpicture}
+    \]
-
+    \onslide<2>{
-    \begin{itemize}
+        \begin{figure}[ht]
-        \item $Q_1 = |\{{\color{blueind}\bullet},{\color{cyanind}\bullet},{\color{electricblue}\bullet}\}|$ blocs fixés en ligne
+            \centering
-        \item $Q_2 = |\{{\color{burntorange}\bullet},{\color{goldenyellow}\bullet},{\color{peach}\bullet}\}|$ blocs fixés en colonne
+            \begin{subfigure}[ht]{0.3\textwidth}
-    \end{itemize}
+                \includestandalone[width=1.1\textwidth]{tikz/applications/baldock/bisbm-mat-Baldock2019_Bristol}
-    \begin{block}{Paramètres}
+                \caption{Bristol}
-        \begin{itemize}
+            \end{subfigure}
-            \item $\pi_{\bullet} = \mathbb{P}(Z_i =\bullet)$ en ligne et $\rho_{\bullet} = \mathbb{P}(W_j = \bullet)$ en colonne
+            \begin{subfigure}[ht]{0.3\textwidth}
-            \item $\alpha_{{\color{blueind}\bullet}{\color{burntorange}\bullet}} = \mathbb{P}(X_{ij} = 1  | Z_i = {\color{blueind}\bullet}, W_j = {\color{burntorange}\bullet})$
+                \includestandalone[width=1.1\textwidth]{tikz/applications/baldock/bisbm-mat-Baldock2019_Edinburgh}
-        \end{itemize}
+                \caption{Edinburgh}
-    \end{block}
+            \end{subfigure}
+            \begin{subfigure}[ht]{0.3\textwidth}
+                \includestandalone[width=1.1\textwidth]{tikz/applications/baldock/bisbm-mat-Baldock2019_Leeds}
+                \caption{Leeds}
+            \end{subfigure}
+            \caption{Matrices d'adjacence réordonnées, grâce au LBM}
+            \label{fig:adj-reord}
+        \end{figure}
+    }
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
     \frametitle{Différents modèles}
-    \only<1>{
+    \onslide<1->{    \begin{block}{\emph{iid}-colBiSBM}
-        \begin{tikzpicture}[scale=0.33]
+            \[
-            \input{../tikz/collbm-iid.tex}
+                \forall m \in \{1\dots M\}, Y^m \overset{iid}{\sim}
-        \end{tikzpicture}
+                \mathcal{F}\text{-BiSBM}_{n_1^m,n_2^m}(Q_1, Q_2, \pi, \rho, \alpha)
-        \begin{block}{\emph{iid-colBiSBM}}
+            \]
-            $\bm{\pi} = (\pi_1, \dots \pi_{Q_1})$ et $\bm{\rho} = (\rho_1, \dots \rho_{Q_2})$
+
+            avec $\theta = (\pi, \rho, \alpha)$.
+        \end{block}}
+    \onslide<2>{    \begin{block}{$\pi\rho$-colBiSBM}
+            \[
+                \forall m \in \{1\dots M\}, Y^m \overset{ind}{\sim}
+                \mathcal{F}\text{-BiSBM}_{n_1^m,n_2^m}(Q_1, Q_2, \pi^m, \rho^m, \alpha)
+            \]
+
+            avec $\theta = ((\pi^m)_{m=1,\dots, M}, (\rho^m)_{m=1,\dots, M}, \alpha)$.
         \end{block}
     }
-    \only<2>{
-        \begin{tikzpicture}[scale=0.33]
-            \input{../tikz/collbm-pirho.tex}
-        \end{tikzpicture}
-        \begin{block}{\emph{$\pi\rho$-colBiSBM}}
-            $\bm{\pi} = ((\pi_{\color{black}1}^{\color{red}m}, \dots \pi_{\color{black}Q_1}^{\color{red}m}))_{m=1,\dots M}$ et $\bm{\rho} = ((\rho_{\color{black}1}^{\color{red}m}, \dots \rho_{\color{black}Q_2}^{\color{red}m}))_{m=1,\dots M}$ %{$\forall q \in \llbracket 1, Q_1 - 1\rrbracket, \pi_q > 0$ et $\forall r \in \llbracket 1, Q_2 - 1\rrbracket, \rho_r > 0$}
-            \small \\
-            avec $\forall q,m \in \llbracket 1, Q_1 \rrbracket \times \llbracket 1, M \rrbracket, \pi_q^m \in \left[ 0,1 \right]$
-            et $\forall r,m \in \llbracket 1, Q_2 \rrbracket \times \llbracket 1, M \rrbracket, \rho_r^m \in \left[ 0,1 \right]$
-        \end{block}
-    }
-    Dans tous les modèles la structure de connectivité ($\bm{\alpha}$) est supposée identique au sein de la collection.
 \end{frame}
 \begin{frame}
     \frametitle{Estimation des paramètres}
     % DONE dire que tau i q m c' est la proba que Zim = q, approximation de la proba variationnelle. Parce qu on impose lindependance
     % Par maximisation d'une borne inférieure variationnelle de la
     % log-vraisemblance des données observées.
-    En adaptant \cite{chabert-liddellLearningCommonStructures2024a} qui se base
+    Maximisation de la log-vraisemblance ?
-    sur la méthode proposée par \cite{daudinMixtureModelRandom2008} utilisant
+    \begin{block}{log-vraisemblance et log-vraisemblance complète}
-    l'algorithme \emph{Variational EM}.
+        \[
+            \ell(\bm{Y};\theta) = \sum_{\bm{Z,W}\in \bm{\mathcal{Z}\times\mathcal{W}}} \ell_c(\bm{Y}, \bm{Z}, \bm{W};\theta)
+        \]
+
+        avec $\bm{\mathcal{Z}} = \{1,\dots,\alert<2>{Q_1}\}^{\alert<2>{n}}, \bm{\mathcal{W}} = \{1,\dots,\alert<2>{Q_2}\}^{\alert<2>{n}}$
+    \end{block}
+    \uncover<3>{Donc, algorithme classique $\Rightarrow$
+        \emph{Expectation-Maximization} (EM).}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Par EM classique}
+    A l'itération $(t)$ :
+    \begin{itemize}
+        \item[$\bullet$]\textbf{Étape E}: calculer
+              $$ \mathcal{Q}(\theta | \theta^{(t-1)}) =   \mathbb E_{\alert<2>{\bm Z, \bm W | \bm Y, \theta^{(t-1)}} } \left[\ell_c(\bm Y, \bm W, \bm Z; \theta)  \right] $$
+        \item[$\bullet$]\textbf{Étape M}:
+              $$ \theta^{(t)} = \arg \max_{\theta} \mathcal{Q}(\theta | \theta^{(t-1)})$$
+    \end{itemize}
+    \uncover<2>{
+        \begin{alertblock}{Problème pour l'EM classique}
+            Loi de $\bm{Z,W|Y},\theta^{(t-1)}$ inaccessible
+        \end{alertblock}}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    Par \emph{Variational EM}, comme proposé
+    par~\cite{daudinMixtureModelRandom2008,
+        chabert-liddellLearningCommonStructures2024a}.
+    \begin{block}{Approximation variationnelle de $\bm{Z,W|Y},\theta^{(t-1)}$}
+        $\mathcal{R}_{Y^m,\tau}(\mathbf{Z}^m, \mathbf{W}^m) =
+            \mathcal{R}^1_{Y^m,\tau}(\mathbf{Z}^m)
+            {\color{red}\times}
+            \mathcal{R}^2_{Y^m,\tau}(\mathbf{W}^m) \Rightarrow$ indépendance lignes, colonnes.
+    \end{block}
     \begin{multline*}
-        \ell (\bm{X};\bm{\theta}) \geq \color{red}\sum_{m=1}^{M} \bigg(
+        \ell (\bm{Y};\theta) \geq \color{red}\sum_{m=1}^{M} \bigg(
-        \color{black} Q^m(\boldsymbol\theta\mid\boldsymbol\theta^{(t)}) +
+        \color{black} \mathcal{Q}^m(\theta\mid\theta^{(t)}) +
-        \mathcal{H}(\mathcal{R}_{\mathbf{X}^m,\boldsymbol\theta^{(t)}}
+        \mathcal{H}(\mathcal{R}_{Y^m,\theta^{(t)}}
         (\mathbf{Z}^m, \mathbf{W}^m))
         \color{red}\bigg) \color{black}
-        =: J(\bm{\tau};\bm{\theta})
+        \eqcolon \mathcal{J}(\tau;\theta)
     \end{multline*}
-    où $Q^m(\boldsymbol\theta\mid\boldsymbol\theta^{(t)}) =
+    où $\mathcal{Q}^m(\theta\mid\theta^{(t)}) =
-        \operatorname{E}_{\mathbf{Z}^m,\mathbf{W}^m
+        \mathbb{E}_{\mathbf{Z}^m,\mathbf{W}^m
-        \sim \mathcal{R}_{\mathbf{X}^m,\boldsymbol\theta^{(t)}}(.)}
+        \sim \mathcal{R}_{Y^m,\tau}(.)}
-        \left[ \log p (\mathbf{X}^m,\mathbf{Z}^m,\mathbf{W}^m | \boldsymbol\theta) \right] \,$
+        \left[ \ell_c(Y^m,\mathbf{Z}^m,\mathbf{W}^m | \theta) \right] \,$
-
-    \begin{block}{Approximation variationnelle}
-        $\mathcal{R}_{\mathbf{X}^m,\boldsymbol\theta^{(t)}}(\mathbf{Z}^m, \mathbf{W}^m) =
-            P(\mathbf{Z}^m | \mathbf{X}^m,\boldsymbol\theta^{(t)}) P(\mathbf{W}^m | \mathbf{X}^m,\boldsymbol\theta^{(t)})$, c'est à dire avoir
-        une indépendance lignes, colonnes.
-    \end{block}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}{Formule développée de l'EM variationnel}
     \begin{multline*}
-        \ell (\bm{X};\bm{\theta}) \geq \color{red}\sum_{m=1}^{M} \bigg( \color{black} \sum_{i = 1}^{n_1^m}\sum_{j=1}^{n_2^m}\sum_{q \in \mathcal{Q}_{1,m}} \sum_{r \in \mathcal{Q}_{2,m}} \tau^{1,m}_{i,q} \tau^{2,m}_{j,r} \log f(X^{m}_{ij}; \alpha_{qr}) \\
+        \ell (\bm{Y};\theta) \geq \color{red}\sum_{m=1}^{M} \bigg( \color{black} \sum_{i = 1}^{n_1^m}\sum_{j=1}^{n_2^m}\sum_{q \in \mathcal{Q}_{1,m}} \sum_{r \in \mathcal{Q}_{2,m}} \tau^{1,m}_{i,q} \tau^{2,m}_{j,r} \log f(Y^{m}_{ij}; \alpha_{qr}) \\
         + \sum_{i=1}^{n_1^m} \sum_{q \in \mathcal{Q}_{1,m}} \tau^{1,m}_{i,q} \log \pi_{\color{black}q}^{\color{gray}m} + \sum_{j=1}^{n_2^m} \sum_{r \in \mathcal{Q}_{2,m}} \tau^{2,m}_{j,r} \log \rho_{\color{black}r}^{\color{gray}m} \\
-        - \sum_{i=1}^{n_1} \tau^{1,m}_{i,q} \log \tau^{1,m}_{i,q} - \sum_{j=1}^{n_2} \tau^{2,m}_{j,r} \log \tau^{2,m}_{j,r} \color{red}\bigg) \color{black} =: J(\bm{\tau};\bm{\theta}),
+        - \sum_{i=1}^{n_1} \tau^{1,m}_{i,q} \log \tau^{1,m}_{i,q} - \sum_{j=1}^{n_2} \tau^{2,m}_{j,r} \log \tau^{2,m}_{j,r} \color{red}\bigg) \color{black} \eqcolon
+        \mathcal{J}(\tau;\theta),
     \end{multline*}
-    où $\ell$ désigne la $\log$ vraisemblance.
 
     \begin{block}{Approximation variationnelle}
-        $\tau_{iq}^{1,m} = P_{\mathcal{R}_m}(Z_{iq}^m = 1|X_{i\bullet}^m)$
+        $\tau_{iq}^{1,m} = \mathcal{R}^1_{Y^m,\tau}(Z_{iq}^m = 1)$
-        et $\tau_{jr}^{2,m} = P_{\mathcal{R}_m}(W_{jr}^m = 1|X_{\bullet j}^m)$
+        et $\tau_{jr}^{2,m} = \mathcal{R}^2_{Y^m,\tau}(W_{jr}^m = 1)$
     \end{block}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}{Étape \emph{Variational Expectation}}
-    $$\widehat{\bm{\tau}}^{(t+1)} = \arg \max_{\bm{\tau}}
+    \[
-        \mathcal{J}(\mathcal{\bm{\tau}},\bm{\widehat{\theta}}^{(t)})$$
+        \widehat{\tau}^{(t+1)} = \arg \max_{\tau}
+        \mathcal{J}(\mathcal{\tau},\bm{\widehat{\theta}}^{(t)})
+        \Leftrightarrow \arg\min_{\tau\in\mathcal{T}} \mathbf{KL}[\mathcal{R}_{\mathbf{Y},\tau}, \mathbb{P}(.|\mathbf{Y})]
+    \]
 
     \begin{equation*}
         \begin{cases}
-            \widehat{\tau}_{iq}^{1,m} \propto \widehat{\pi}_{q}^{m(t)} \prod_{j=1}^{n_2^m}\prod_{r\in\mathcal{Q}_2^m} f(X_{ij}^m;\widehat{\alpha}_{qr}^{(t)})^{\widehat{\tau}_{jr}^{2,m(t+1)}}  & \forall i = 1, \dots , n_1^m, q \in \mathcal{Q}_1^m \\
+            \widehat{\tau}_{iq}^{1,m} \propto \widehat{\pi}_{q}^{m(t)} \prod_{j=1}^{n_2^m}\prod_{r\in\mathcal{Q}_2^m} f(Y_{ij}^m;\widehat{\alpha}_{qr}^{(t)})^{\widehat{\tau}_{jr}^{2,m(t+1)}}  & \forall i = 1, \dots , n_1^m, q \in \mathcal{Q}_1^m \\
-            \widehat{\tau}_{jr}^{2,m} \propto \widehat{\rho}_{r}^{m(t)} \prod_{i=1}^{n_1^m}\prod_{q\in\mathcal{Q}_1^m} f(X_{ij}^m;\widehat{\alpha}_{qr}^{(t)})^{\widehat{\tau}_{iq}^{1,m(t+1)}} & \forall j = 1, \dots , n_2^m, r \in \mathcal{Q}_2^m
+            \widehat{\tau}_{jr}^{2,m} \propto \widehat{\rho}_{r}^{m(t)} \prod_{i=1}^{n_1^m}\prod_{q\in\mathcal{Q}_1^m} f(Y_{ij}^m;\widehat{\alpha}_{qr}^{(t)})^{\widehat{\tau}_{iq}^{1,m(t+1)}} & \forall j = 1, \dots , n_2^m, r \in \mathcal{Q}_2^m
         \end{cases}
     \end{equation*}
-    \footnotetext[2]{Initialisation des $\widehat{\bm{\tau}}$ avec un
+    \footnotetext[2]{Initialisation des $\widehat{\tau}$ avec un
         \emph{spectral clustering} sur les réseaux.}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}{Étape \emph{Maximization}}
     \[
-        \widehat{\bm{\theta}}^{(t+1)} = \arg \max_{\bm{\theta}} \mathcal{J}(\mathcal{\bm{\widehat{\tau}}}^{(t+1)},\bm{\theta})
+        \widehat{\theta}^{(t+1)} = \arg \max_{\theta} \mathcal{J}(\mathcal{\bm{\widehat{\tau}}}^{(t+1)},\theta)
     \]
 
     \begin{block}{Paramètres de connectivité}
         \begin{align*}
-            \widehat{\alpha}_{qr} = \frac{\sum_{m=1}^{M} \sum_{i=1}^{n_1^m} \sum_{j=1}^{n_2^m} \tau_{iq}^{1,m} \tau_{jr}^{2,m} X_{ij}^m}{\sum_{m=1}^{M} \sum_{i=1}^{n_1^m} \sum_{j=1}^{n_2^m} \tau_{iq}^{1,m} \tau_{jr}^{2,m}}
+            \widehat{\alpha}_{qr} = \frac{\sum_{m=1}^{M} \sum_{i=1}^{n_1^m} \sum_{j=1}^{n_2^m} \tau_{iq}^{1,m} \tau_{jr}^{2,m} \alert<2>{Y_{ij}^m}}{\sum_{m=1}^{M} \sum_{i=1}^{n_1^m} \sum_{j=1}^{n_2^m} \tau_{iq}^{1,m} \tau_{jr}^{2,m}}
         \end{align*}
     \end{block}
     \only<1>{
@@ -224,19 +297,20 @@
 
 \section{Sélection de modèle}
 \begin{frame}
-    \frametitle{Problème de choix de $(Q_1, Q_2)$}
+    \frametitle{Problème choix de $(Q_1, Q_2)$}
-    \underline{L'estimation de paramètres se fait à $Q_1, Q_2$ blocs fixés}, il faut donc déterminer les \enquote*{meilleures} coordonnées.
+    Besoin sélectionner $Q_1$ et $Q_2$. Critère BIC-Like\footnote{ICL + Entropie + pénalité}
-    Nous maximisons un critère, le \emph{Bayesian Information Criterion - Like}
+
-    (BIC-L), de vraisemblance pénalisée en adaptant les formules
+    \begin{align*}
-    de~\cite{chabert-liddellLearningCommonStructures2024a}.
+        \text{BIC-L}(\bm{Y}, Q_1, Q_2) & = \max_{\theta} \mathbb{E}_{\mathcal{R}_{\mathbf{Y},\hat{\tau}}} [\ell_c(\bm{Y,Z,W};\theta)] + \mathcal{H(\mathcal{R}_{\mathbf{Y},\hat{\tau}})} - \frac{1}{2}\text{pen}(\theta, Q_1, Q_2) \\
+                                       & = \max_{\theta} \mathcal{J(\mathcal{R}_{\mathbf{Y},\hat{\tau}}, \theta)} - \frac{1}{2}\text{pen}(\theta, Q_1, Q_2)
+    \end{align*}
+
 
     \begin{alertblock}{Problèmes de l'exploration}
         \begin{itemize}
-            \item Exploration de l'espace $\mathbb{N}^2$ coûteux, besoin d'une
+            \item Exploration de $\mathbb{N}^2$ coûteux.
-                  stratégie.
+            \item Sensibilité initialisations.
-            \item Sensibilité aux initialisations et à l'aléatoire.
         \end{itemize}
-
     \end{alertblock}
 \end{frame}
 
@@ -245,7 +319,7 @@
     \begin{columns}
         \begin{column}{0.5\linewidth}
             \begin{tikzpicture}
-                \input{../tikz/greedy-exploration.tex}
+                \input{tikz/greedy-exploration.tex}
             \end{tikzpicture}
         \end{column}
         \begin{column}{0.35\linewidth}
@@ -279,7 +353,7 @@
     \begin{columns}
         \begin{column}{0.6\textwidth}
             \begin{figure}
-                \input{../tikz/moving-window.tex}
+                \input{tikz/moving-window}
                 \caption{Fenêtre glissante}
             \end{figure}
         \end{column}
@@ -300,12 +374,73 @@
 \section{Application}
 \label{sec:application}
 
+\begin{frame}
+    \frametitle{Résultats~\cite{baldockSystemsApproachReveals2019a}}
+
+    \only<1>{
+        \begin{figure}[ht]
+            \centering
+            \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
+                \centering
+                \includestandalone[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Bristol}
+                \caption{Bristol}
+            \end{subfigure}\hfil
+            \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
+                \centering
+                \includestandalone[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Edinburgh}
+                \caption{Edinburgh}
+            \end{subfigure}
+            \newline
+            \begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
+                \centering
+                \includestandalone[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Leeds}
+                \caption{Leeds}
+            \end{subfigure}\hfil
+            \begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
+                \centering
+                \includestandalone[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Reading}
+                \caption{Reading}
+            \end{subfigure}
+            \caption{Matrices d'adjacence,~\cite{baldockSystemsApproachReveals2019a}}
+        \end{figure}
+    }
+    \only<2>{
+        \begin{figure}[ht]
+            \centering
+            \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
+                \centering
+                \includestandalone[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Bristol}
+                \caption{Bristol}
+            \end{subfigure}\hfil
+            \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
+                \centering
+                \includestandalone[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Edinburgh}
+                \caption{Edinburgh}
+            \end{subfigure}
+            \newline
+            \begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
+                \centering
+                \includestandalone[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Leeds}
+                \caption{Leeds}
+            \end{subfigure}\hfil
+            \begin{subfigure}[ht]{0.5\textwidth}
+                \centering
+                \includestandalone[width=0.5\textwidth]{tikz/applications/baldock/colbisbm-mat-Baldock2019_Reading}
+                \caption{Reading}
+            \end{subfigure}
+            \caption{Matrices d'adjacence réordonnée par \emph{iid}-colBiSBM,~\cite{baldockSystemsApproachReveals2019a}}
+        \end{figure}
+    }
+\end{frame}
+
+
+
 \begin{frame}
     \frametitle{Clustering de réseaux}
-    \centering
+    \begin{figure}[ht]
-    \begin{tikzpicture}
+        \includestandalone[width=0.45\textwidth]{tikz/applications/baldock/mat-Baldock2011_TB+Baldock2011_JN}
-        \input{../tikz/clustering.tex}
+        \caption{Matrice d'adjacence,~\cite{baldockDailyTemporalStructure2011}}
-    \end{tikzpicture}
+    \end{figure}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}[allowframebreaks]
@@ -316,15 +451,13 @@
         \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
             \centering
             \includegraphics[scale=0.2,angle=-90]{backup-app-iid.png}
-            \caption{Modèle $iid$,\\
+            \caption{Modèle $iid$}
-                séparent réseau africain et réseaux anglais}
         \end{subfigure}%
         ~
         \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
             \centering
             \includegraphics[scale=0.2,angle=-90]{backup-app-pirho.png}
-            \caption{Modèle $\pi\rho$,\\
+            \caption{Modèle $\pi\rho$}
-                fusionnent réseaux africain et anglais}
         \end{subfigure}%
         \caption{Partitionnement des réseaux
             de~\cite{baldockDailyTemporalStructure2011,
@@ -353,6 +486,36 @@
     \end{figure}
 \end{frame}
 
+\begin{frame}{Algorithme du clustering}
+    \centering
+    \vspace{0.25\baselineskip}
+    \begin{tikzpicture}[scale=0.85]
+        \input{tikz/clustering.tex}
+    \end{tikzpicture}
+    \[
+        D_{\mathcal{M}}(m,m') = \sum_{q = 1}^{Q_1} \sum_{r = 1}^{Q_2} \max(\widetilde{\pi}_{q}^{m}, \widetilde{\pi}_{q}^{m'}) \left( \widetilde{\alpha}_{qr}^{m} - \widetilde{\alpha}_{qr}^{m'}\right)^{2} \max(\widetilde{\rho}_{r}^{m}, \widetilde{\rho}_{r}^{m'})
+    \]
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Résultats}
+    \begin{figure}[ht]
+        \centering
+        \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
+            \centering
+            \includestandalone[width=1\textwidth]{tikz/applications/baldock/bisbm-mat-Baldock2011_TB+Baldock2011_JN}
+            \caption{Réordonnée par LBM}
+        \end{subfigure}\hfil
+        \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
+            \centering
+            \includestandalone[width=1\textwidth]{tikz/applications/baldock/pirho-colbisbm-mat-Baldock2011_TB+Baldock2011_JN}
+            \caption{Réordonnée par $\pi\rho$-colBiSBM}
+        \end{subfigure}
+
+        \caption{Matrice d'adjacence réordonnée par $\pi\rho$-colBiSBM,~\cite{baldockDailyTemporalStructure2011}}
+    \end{figure}
+\end{frame}
+
+
 \section{Conclusion}
 \label{sec:conclusion}
 \begin{frame}
@@ -378,16 +541,15 @@
     \begin{itemize}
         \item Investiguer stabilité face à l'aléatoire et aux \emph{optima} locaux.
         \item Preuve d'identifiabilité du modèle $\pi\rho$.
-        \item
     \end{itemize}
 
     \begin{block}{Package et applications}
         \begin{itemize}
-            \item Intégration au package \texttt{colSBM} et publication CRAN
+            \item Intégration au package \texttt{colSBM}, amélioration interface utilisateur et ajout retours écologues
+            \item Publication CRAN
             \item Intégrer possibilité d'un critère supplémentaire pour le
                   clustering
             \item Appliquer clustering données de \cite{pichonTellingMutualisticAntagonistic2024,doreRelativeEffectsAnthropogenic2021}
-            \item
         \end{itemize}
 
     \end{block}

soutenance/soutenance.tex

@@ -50,6 +50,15 @@
 %% Biblio
 \input{../shared/biblio.tex}
 
+\newcommand{\bZ}{\bm{Z}}
+\newcommand{\bY}{\bm{Y}}
+\newcommand{\bW}{\bm{W}}
+\newcommand{\Prob}{\mathbb{P}}
+\newcommand{\Ryt}{\mathcal{R}_{\bY,\tau}}
+\newcommand{\KL}[2]{\mathbf{KL}[#1,#2]}
+\newcommand{\Esp}{\mathbb{E}}
+\newcommand{\Hshannon}{\mathcal{H}}
+
 % Footnote
 \makeatletter
 \newcommand\blfootnote[1]{%

soutenance/tikz

@@ -0,0 +1 @@
+../tikz/

tikz/applications/baldock/bisbm-mat-Baldock2019_Bristol.tex

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+% Created by tikzDevice version 0.12.6 on 2024-08-28 15:36:18
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tikz/applications/baldock/bisbm-mat-Baldock2019_Edinburgh.tex

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+% Created by tikzDevice version 0.12.6 on 2024-08-28 15:36:22
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tikz/applications/baldock/bisbm-mat-Baldock2019_Leeds.tex

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+% Created by tikzDevice version 0.12.6 on 2024-08-28 15:36:25
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tikz/applications/baldock/mat-Baldock2011_TB+Baldock2011_JN.tex

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+% Created by tikzDevice version 0.12.6 on 2024-08-28 15:36:13
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tikz/applications/baldock/mat-Baldock2019_Reading.tex

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+% Created by tikzDevice version 0.12.6 on 2024-08-28 15:36:14
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 \documentclass[10pt]{standalone}\usepackage{tikz}