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#+TITLE: Analyse du risque de défaillance des joints toriques de la navette Challenger
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#+AUTHOR: Arnaud Legrand
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#+LANGUAGE: fr
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#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/htmlize.css"/>
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#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/readtheorg.css"/>
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#+HTML_HEAD: <script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.3/jquery.min.js"></script>
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#+HTML_HEAD: <script src="https://maxcdn.bootstrapcdn.com/bootstrap/3.3.4/js/bootstrap.min.js"></script>
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#+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/lib/js/jquery.stickytableheaders.js"></script>
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#+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/js/readtheorg.js"></script>
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#+LATEX_HEADER: \usepackage[utf8]{inputenc}
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#+LATEX_HEADER: \usepackage[T1]{fontenc}
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#+LATEX_HEADER: \usepackage[a4paper,margin=.8in]{geometry}
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#+LATEX_HEADER: \usepackage[french]{babel}
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# #+PROPERTY: header-args :session :exports both
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Le 27 Janvier 1986, veille du décollage de la navette /Challenger/, eu
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lieu une télé-conférence de trois heures entre les ingénieurs de la
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Morton Thiokol (constructeur d'un des moteurs) et de la NASA. La
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discussion portait principalement sur les conséquences de la
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température prévue au moment du décollage de 31°F (juste en dessous de
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0°C) sur le succès du vol et en particulier sur la performance des
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joints toriques utilisés dans les moteurs. En effet, aucun test
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n'avait été effectué à cette température.
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L'étude qui suit reprend donc une partie des analyses effectuées cette
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nuit là et dont l'objectif était d'évaluer l'influence potentielle de
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la température et de la pression à laquelle sont soumis les joints
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toriques sur leur probabilité de dysfonctionnement. Pour cela, nous
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disposons des résultats des expériences réalisées par les ingénieurs
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de la NASA durant les 6 années précédant le lancement de la navette
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Challenger.
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* Chargement des données
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Nous commençons donc par charger ces données:
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#+begin_src R :results output :session *R* :exports both
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data = read.csv("shuttle.csv",header=T)
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data
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#+end_src
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#+RESULTS:
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#+begin_example
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Date Count Temperature Pressure Malfunction
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1 4/12/81 6 66 50 0
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2 11/12/81 6 70 50 1
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3 3/22/82 6 69 50 0
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4 11/11/82 6 68 50 0
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5 4/04/83 6 67 50 0
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6 6/18/82 6 72 50 0
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7 8/30/83 6 73 100 0
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8 11/28/83 6 70 100 0
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9 2/03/84 6 57 200 1
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10 4/06/84 6 63 200 1
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11 8/30/84 6 70 200 1
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12 10/05/84 6 78 200 0
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13 11/08/84 6 67 200 0
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14 1/24/85 6 53 200 2
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15 4/12/85 6 67 200 0
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16 4/29/85 6 75 200 0
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17 6/17/85 6 70 200 0
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18 7/2903/85 6 81 200 0
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19 8/27/85 6 76 200 0
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20 10/03/85 6 79 200 0
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21 10/30/85 6 75 200 2
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22 11/26/85 6 76 200 0
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23 1/12/86 6 58 200 1
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#+end_example
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Le jeu de données nous indique la date de l'essai, le nombre de joints
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toriques mesurés (il y en a 6 sur le lançeur principal), la
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température (en Fahrenheit) et la pression (en psi), et enfin le
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nombre de dysfonctionnements relevés.
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* Inspection graphique des données
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Les vols où aucun incident n'est relevé n'apportant aucune information
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sur l'influence de la température ou de la pression sur les
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dysfonctionnements, nous nous concentrons sur les expériences où au
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moins un joint a été défectueux.
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#+begin_src R :results output :session *R* :exports both
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data = data[data$Malfunction>0,]
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data
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#+end_src
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#+RESULTS:
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: Date Count Temperature Pressure Malfunction
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: 2 11/12/81 6 70 50 1
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: 9 2/03/84 6 57 200 1
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: 10 4/06/84 6 63 200 1
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: 11 8/30/84 6 70 200 1
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: 14 1/24/85 6 53 200 2
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: 21 10/30/85 6 75 200 2
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: 23 1/12/86 6 58 200 1
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Très bien, nous avons une variabilité de température importante mais
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la pression est quasiment toujours égale à 200, ce qui devrait
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simplifier l'analyse.
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Comment la fréquence d'échecs varie-t-elle avec la température ?
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#+begin_src R :results output graphics :file "freq_temp.png" :exports both :width 600 :height 400 :session *R*
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plot(data=data, Malfunction/Count ~ Temperature, ylim=c(0,1))
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#+end_src
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#+RESULTS:
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[[file:freq_temp.png]]
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À première vue, ce n'est pas flagrant mais bon, essayons quand même
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d'estimer l'impact de la température $t$ sur la probabilité de
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dysfonctionnements d'un joint.
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* Estimation de l'influence de la température
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Supposons que chacun des 6 joints toriques est endommagé avec la même
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probabilité et indépendamment des autres et que cette probabilité ne
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dépend que de la température. Si on note $p(t)$ cette probabilité, le
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nombre de joints $D$ dysfonctionnant lorsque l'on effectue le vol à
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température $t$ suit une loi binomiale de paramètre $n=6$ et
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$p=p(t)$. Pour relier $p(t)$ à $t$, on va donc effectuer une
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régression logistique.
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#+begin_src R :results output :session *R* :exports both
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logistic_reg = glm(data=data, Malfunction/Count ~ Temperature, weights=Count,
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family=binomial(link='logit'))
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summary(logistic_reg)
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#+end_src
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#+RESULTS:
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#+begin_example
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Call:
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glm(formula = Malfunction/Count ~ Temperature, family = binomial(link = "logit"),
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data = data, weights = Count)
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Deviance Residuals:
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2 9 10 11 14 21 23
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-0.3015 -0.2836 -0.2919 -0.3015 0.6891 0.6560 -0.2850
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Coefficients:
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Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
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(Intercept) -1.389528 3.195752 -0.435 0.664
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Temperature 0.001416 0.049773 0.028 0.977
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(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
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Null deviance: 1.3347 on 6 degrees of freedom
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Residual deviance: 1.3339 on 5 degrees of freedom
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AIC: 18.894
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Number of Fisher Scoring iterations: 4
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#+end_example
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L'estimateur le plus probable du paramètre de température est 0.001416
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et l'erreur standard de cet estimateur est de 0.049, autrement dit on
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ne peut pas distinguer d'impact particulier et il faut prendre nos
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estimations avec des pincettes.
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* Estimation de la probabilité de dysfonctionnant des joints toriques
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La température prévue le jour du décollage est de 31°F. Essayons
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d'estimer la probabilité de dysfonctionnement des joints toriques à
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cette température à partir du modèle que nous venons de construire:
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#+begin_src R :results output graphics :file "proba_estimate.png" :exports both :width 600 :height 400 :session *R*
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# shuttle=shuttle[shuttle$r!=0,]
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tempv = seq(from=30, to=90, by = .5)
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rmv <- predict(logistic_reg,list(Temperature=tempv),type="response")
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plot(tempv,rmv,type="l",ylim=c(0,1))
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points(data=data, Malfunction/Count ~ Temperature)
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#+end_src
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#+RESULTS:
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[[file:proba_estimate.png]]
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Comme on pouvait s'attendre au vu des données initiales, la
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température n'a pas d'impact notable sur la probabilité d'échec des
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joints toriques. Elle sera d'environ 0.2, comme dans les essais
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précédents où nous il y a eu défaillance d'au moins un joint. Revenons
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à l'ensemble des données initiales pour estimer la probabilité de
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défaillance d'un joint:
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#+begin_src R :results output :session *R* :exports both
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data_full = read.csv("shuttle.csv",header=T)
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sum(data_full$Malfunction)/sum(data_full$Count)
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#+end_src
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#+RESULTS:
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: [1] 0.06521739
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Cette probabilité est donc d'environ $p=0.065$, sachant qu'il existe
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un joint primaire un joint secondaire sur chacune des trois parties du
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lançeur, la probabilité de défaillance des deux joints d'un lançeur
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est de $p^2 \approx 0.00425$. La probabilité de défaillance d'un des
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lançeur est donc de $1-(1-p^2)^3 \approx 1.2%$. Ça serait vraiment
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pas de chance... Tout est sous contrôle, le décollage peut donc avoir
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lieu demain comme prévu.
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Seulement, le lendemain, la navette Challenger explosera et emportera
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avec elle ses sept membres d'équipages. L'opinion publique est
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fortement touchée et lors de l'enquête qui suivra, la fiabilité des
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joints toriques sera directement mise en cause. Au delà des problèmes
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de communication interne à la NASA qui sont pour beaucoup dans ce
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fiasco, l'analyse précédente comporte (au moins) un petit
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problème... Saurez-vous le trouver ? Vous êtes libre de modifier cette
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analyse et de regarder ce jeu de données sous tous les angles afin
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d'expliquer ce qui ne va pas.
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